Module 4 · Quantitative Methods

Probability Trees and Conditional Expectations

EN: Conditional probability, multiplication / addition / total-probability rules, Bayes' theorem, and expected-value tree analysis.
VN: Xác suất có điều kiện, các quy tắc cộng/nhân, định lý Bayes và cây kỳ vọng.

In this module

Conditional Probability
Multiplication Rule
Addition Rule
Total Probability Rule
Bayes' Theorem
Expected Value
Variance of a Random Variable
Total Probability Rule for Expected Value

1. Conditional Probability Core

About: P(A|B) is the probability of A given that B has occurred. This is how analysts incorporate new information — e.g. probability of recession given an inverted yield curve.Tóm tắt: P(A|B) là xác suất A xảy ra khi đã biết B. Cách kết hợp thông tin mới vào dự báo.

EN: Probability of A given that B has occurred.
VN: Xác suất A xảy ra khi đã biết B.

\[ P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)},\quad P(B) > 0 \]

Components / Thành phần

$P(AB)$ Joint probability of A AND B.
$P(B)$ Marginal probability of B.

Practice problem

P(rain) = 30%, P(rain AND traffic jam) = 24%. Compute P(traffic jam | rain).

Show solution

$P(T|R) = 0.24/0.30$

= 80%

2. Multiplication Rule Core

About: The multiplication rule converts conditional probabilities to joint probabilities. For independent events the joint probability is just the product. Backbone of probability tree calculations.Tóm tắt: Quy tắc nhân chuyển xác suất có điều kiện sang xác suất đồng thời. Sự kiện độc lập: xác suất đồng thời = tích.

\[ P(AB) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) \] \[ \text{If A, B independent: } P(AB) = P(A) \cdot P(B) \]

Practice problem

P(stock up) = 0.6. P(GDP growth | stock up) = 0.8. Compute P(stock up AND GDP growth).

Show solution

$P(AB) = 0.8 \times 0.6$

= 0.48 (48%)

3. Addition Rule Core

About: The addition rule gives the probability of A OR B (or both). For mutually exclusive events the overlap term is zero. Used when scenarios overlap (e.g. P(stock up OR bond up)).Tóm tắt: Quy tắc cộng cho xác suất A HOẶC B (hoặc cả hai). Hai biến cố loại trừ: P(AB) = 0.

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \]

Mutually exclusive events: $P(AB) = 0$ → $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Practice problem

P(stock up) = 0.55, P(bond up) = 0.40, P(both up) = 0.25. Compute P(at least one up).

Show solution

$P(A \cup B) = 0.55 + 0.40 - 0.25$

= 0.70

4. Total Probability Rule Core

About: Decomposes an unconditional probability into a weighted sum of conditional probabilities across mutually exclusive, exhaustive scenarios. Foundation for scenario analysis.Tóm tắt: Phân rã xác suất không điều kiện thành tổng có trọng số theo các kịch bản loại trừ và trọn vẹn. Nền tảng cho scenario analysis.

EN: Decompose P(A) by conditioning on a set of mutually exclusive, exhaustive scenarios $S_i$.
VN: Phân rã P(A) theo các kịch bản loại trừ và trọn vẹn.

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid S_i) \cdot P(S_i) \]

Practice problem

Recession 30% (P(default | rec) = 25%); Normal 50% (P(default | nor) = 5%); Boom 20% (P(default | boom) = 1%). Find unconditional P(default).

Show solution

$P(D) = 0.25(0.30) + 0.05(0.50) + 0.01(0.20)$

$= 0.075 + 0.025 + 0.002$

= 0.102 = 10.2%

5. Bayes' Theorem Core

About: Bayes' theorem updates a prior belief with new evidence. Inverts conditional probabilities: given P(I|S), get P(S|I). Used for credit-risk updates, signal interpretation, and any inference under uncertainty.Tóm tắt: Bayes cập nhật xác suất tiên nghiệm khi có thông tin mới. Đảo điều kiện. Dùng trong credit-risk và mọi suy luận có bất định.

EN: Update prior beliefs given new evidence — invert the conditioning.
VN: Cập nhật xác suất tiên nghiệm khi có thông tin mới — đảo điều kiện.

\[ P(S \mid I) = \frac{P(I \mid S) \cdot P(S)}{P(I)} \]

Components / Thành phần

$P(S)$ Prior probability of scenario S.
$P(I \mid S)$ Likelihood of evidence I given S.
$P(I)$ Marginal probability of I (often computed via total-probability rule).
$P(S \mid I)$ Posterior — updated belief about S after seeing I.

Practice problem

5% of stocks "fail" within a year. A model flags 90% of failures (true-positive) but also flags 10% of survivors (false-positive). Given a stock is flagged, what is the probability it actually fails?

Show solution

$P(\text{Flag}) = 0.90(0.05) + 0.10(0.95) = 0.045 + 0.095 = 0.14$

$P(\text{Fail} \mid \text{Flag}) = \dfrac{0.90 \times 0.05}{0.14} = \dfrac{0.045}{0.14}$

≈ 0.321 = 32.1%

6. Expected Value Core

About: Probability-weighted average of all possible outcomes. The 'best guess' for a random variable. First moment of the distribution.Tóm tắt: Trung bình có trọng số xác suất của các kết quả có thể. Ước lượng tốt nhất cho biến ngẫu nhiên.

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} P(X_i) \cdot X_i \]

Practice problem

Outcomes: 30% chance of $10, 50% of $5, 20% of −$3. Compute E(X).

Show solution

E(X) = 0.30(10) + 0.50(5) + 0.20(−3)

= 3.0 + 2.5 − 0.6

= $4.90

7. Variance of a Random Variable Core

About: Probability-weighted average of squared deviations from E(X). Measures the dispersion / uncertainty around the expected value. Square-root gives standard deviation.Tóm tắt: Trung bình bình phương độ lệch khỏi E(X) theo trọng số xác suất. Đo độ phân tán/bất định quanh giá trị kỳ vọng.

\[ \sigma^{2}(X) = E[(X - E(X))^{2}] = \sum_{i=1}^{n} P(X_i)\,[X_i - E(X)]^{2} \]

Practice problem

A stock has 30% prob of +20%, 50% prob of +5%, 20% prob of –10%. Compute E(R) and σ.

Show solution

$E(R) = 0.30(20) + 0.50(5) + 0.20(-10) = 6.5\%$

$\sigma^{2} = 0.30(20 - 6.5)^{2} + 0.50(5 - 6.5)^{2} + 0.20(-10 - 6.5)^{2}$

$= 0.30(182.25) + 0.50(2.25) + 0.20(272.25) = 54.675 + 1.125 + 54.45 = 110.25$

E(R) = 6.5%, σ ≈ 10.50%

8. Total Probability Rule for Expected Value Core

About: Unconditional expected value = weighted average of conditional expected values across scenarios. Lets you build E(X) up from scenario forecasts (e.g. recession/normal/boom EPS).Tóm tắt: Kỳ vọng không điều kiện = trung bình có trọng số kỳ vọng theo từng kịch bản. Dùng dựng E(X) từ dự báo theo kịch bản.

EN: Unconditional expected value = weighted average of expected values across mutually exclusive, exhaustive scenarios.
VN: Kỳ vọng không điều kiện = trung bình có trọng số của kỳ vọng theo từng kịch bản.

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} P(S_i) \cdot E(X \mid S_i) \]

Practice problem

Recession 30% (E(R)=−5%), Normal 50% (E(R)=8%), Boom 20% (E(R)=20%). Compute unconditional E(R).

Show solution

E(R) = 0.30(−5) + 0.50(8) + 0.20(20)

= −1.5 + 4.0 + 4.0

= 6.5%