Quantitative Methods — Review toàn bộ note
Toàn bộ note tay của bạn về Quant, gom lại theo cụm chủ đề, cộng thêm phần review Mock Test 1 (những câu đã làm sai — ưu tiên cao nhất). Đọc từ trên xuống trước ngày thi, phần bẫy màu đỏ và phần phân biệt màu tím là thứ quyết định điểm.
Mind map tổng — Quantitative Methods (toàn môn)
- QUANT
- 1. Lãi suất & Time value of money
- Fisher — (1+r danh nghĩa) = (1+r thực)(1+lạm phát)
- Các thành phần lợi suất — thực phi rủi ro + lạm phát + vỡ nợ + thanh khoản + kỳ hạn
- Amortization — tách lãi và gốc từng kỳ, N/I/Y/PV/PMT/FV
- 2. Rates & Returns
- HPR, lợi suất gộp liên tục — log return luôn nhỏ hơn HPR khi giá tăng
- Arithmetic / Geometric / Harmonic — chọn theo đề cho "cùng tiền" hay "cùng số cổ phiếu"
- MWR vs TWR — không có dòng tiền giữa kỳ thì hai cái bằng nhau
- 3. Thống kê mô tả
- Đo trung tâm và phân vị — median, quartile, quintile, decile, percentile
- Đo phân tán — range, MAD, phương sai, CV, target semideviation
- Hình dạng phân phối — skewness, kurtosis, box-and-whisker
- 4. Đếm tổ hợp
- Combination / Permutation / Multinomial — chọn nhóm / xếp hạng / chia nhiều nhóm
- 5. Xác suất & danh mục
- Kỳ vọng, hiệp phương sai, tương quan — tính từ bảng xác suất chung
- Bayes — đảo chiều xác suất có điều kiện
- 6. Bốn cái bẫy về Correlation
- Nhân quả, phi tuyến, độc lập, ngoại lai — chương ra đề nhiều nhất
- 7. Phân phối xác suất
- Binomial — đối xứng khi p = 0.5
- Normal & bảng Z — 1.645 / 1.96 / 2.33 / 2.58
- Shortfall risk, Monte Carlo — so với target return, mô phỏng ngẫu nhiên
- 8. Lấy mẫu & ước lượng
- Sampling error — thống kê mẫu trừ tham số tổng thể
- Bootstrap / Jackknife / Permutation — vay lại / bỏ ra một / xáo trộn
- 9. Hypothesis testing
- H0 và Ha, chọn đuôi — luôn nhìn Ha trước
- Type I / Type II / Power — power đi với beta, không đi với alpha
- Chọn statistic — z, t, chi-square, F, ANOVA
- 10. Simple linear regression
- Hệ số chặn và độ dốc — mẫu số là phương sai của X
- Bảng ANOVA — SST, SSR, SSE, R², SEE, F
- 11. Big data & Fintech
- 3V, parametric vs nonparametric, overfitting — nhận diện qua từ khóa
- 12. Mock Test 1 — câu sai
- Q33, 36, 40, 45, 46, 50, 58, 61, 68, 69, 74, 79, 83, 86, 90 — làm lại bằng tay
1 · Lãi suất & Time value of money
Công thức Fisher, các thành phần cấu thành lợi suất yêu cầu, và dạng bài tách lãi/gốc trong khoản vay trả góp.
Fisher — lãi suất danh nghĩa và lãi suất thực
(1 + rnominal) = (1 + rreal) × (1 + π)
Xấp xỉ nhanh khi số nhỏ: rnominal ≈ rreal + π
Nominal rate — lãi suất danh nghĩa, tức con số ghi trên hợp đồng, đã bao gồm cả phần bù lạm phát. Real rate — lãi suất thực, tức sức mua thật sự bạn nhận được sau khi trừ lạm phát. Đề CFA hay cho lãi suất danh nghĩa và tỷ lệ lạm phát rồi bắt tìm lãi suất thực, phải chia chứ không được trừ thẳng nếu đề hỏi "exactly".
Các thành phần của lợi suất yêu cầu
Bẫy Mock 1 — Q33 (bạn cần nhớ)
Trái phiếu doanh nghiệp AAA, kỳ hạn 10 năm, actively traded — thành phần nào lớn nhất? → Maturity risk premium.
Lý do theo đúng chữ bạn ghi: AAA là hạng đầu tư nên gần như không có rủi ro vỡ nợ → phần bù vỡ nợ nhỏ. Giao dịch sôi động nên thanh khoản cao → phần bù thanh khoản nhỏ. Còn 10 năm là dài, giá nhạy với lãi suất → phần bù kỳ hạn lớn nhất.
Dạng PMT, PV, FV có tách gốc (amortizing loan)
Đề: Vay $15,000, trả góp hàng năm, kỳ hạn 7 năm, lãi 11%. Hỏi phần lãi của kỳ trả thứ nhất và phần gốc của kỳ trả thứ hai.
Ví dụ có số — bấm máy đủ 2 bước
Bước 1 — tìm khoản trả đều: N = 7; I/Y = 11; PV = −15,000; FV = 0 → CPT PMT = $3,183.
Bước 2 — dựng bảng: lãi kỳ này = dư nợ đầu kỳ × 11%; gốc trả = PMT − lãi; dư nợ cuối = dư nợ đầu − gốc trả.
→ Đáp án: $1,650; $1,702.
Chốt phải nhớ
Trong khoản vay trả góp, khoản trả đều không đổi nhưng phần lãi giảm dần và phần gốc tăng dần theo thời gian. Muốn biết phần gốc của kỳ 2 thì bắt buộc phải chạy qua kỳ 1 trước để có dư nợ mới — không có đường tắt.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Số kỳ ghép lãi trong năm (compounding frequency)
TĂNG ↑ Số kỳ ghép lãi trong năm (m) ↑ → Effective annual rate (EAR) ↑, tiền thực nhận cuối năm ↑. Ghép năm → nửa năm → quý → tháng → ngày → liên tục (continuous), EAR tăng dần và chạm trần ở e^r − 1.
GIỮ NGUYÊN Stated annual rate (lãi suất công bố) không đổi dù ghép dày tới đâu — chỉ EAR mới đổi.
Vì sao: cùng một lãi suất công bố, ghép lãi càng dày thì lãi mẹ đẻ lãi con càng sớm nên tổng lãi càng lớn.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Lãi suất chiết khấu (discount rate) và số kỳ (N)
TĂNG ↑ Lãi suất chiết khấu r ↑ → Future value (FV) ↑. Số kỳ N ↑ → FV ↑.
GIẢM ↓ Lãi suất chiết khấu r ↑ → Present value (PV) ↓. Số kỳ N ↑ → PV ↓.
Vì sao: PV và FV luôn ngược chiều nhau — r hay N tăng thì tiền tương lai phình ra, còn tiền tương lai quy về hôm nay thì teo lại.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Annuity due so với Ordinary annuity
TĂNG ↑ Annuity due (trả đầu kỳ) có cả PV lẫn FV đều LỚN HƠN ordinary annuity (trả cuối kỳ), lớn hơn đúng một hệ số (1 + r).
Vì sao: mỗi khoản tiền đến sớm hơn đúng một kỳ nên được hưởng thêm đúng một kỳ lãi. Trên máy BA II Plus phải bật BGN mode, quên bật là sai cả bài.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Các loại lãi suất và lợi suất trên thị trường tiền tệ
stated / quoted annual rate → nominal ratecompounded m times → EAR = (1 + r/m)^m − 1continuously compounded → EAR = e^r − 1adjusted for inflation / purchasing power → real rate365-day year, actual price → BEY (bond equivalent yield)360-day year, face value làm mẫu số → BDY (bank discount yield)360-day year, price làm mẫu số → money market yield
"effective" KHÔNG đồng nghĩa với "stated"
BDY KHÔNG phải lợi suất thật của nhà đầu tư
Phân biệt: Nominal rate (lãi suất danh nghĩa) đã gồm lạm phát; Real rate (lãi suất thực) là sức mua thật; Effective annual rate (lãi suất hiệu dụng năm) đã tính đủ ghép lãi trong năm. Bank discount yield lấy mệnh giá (face value) làm mẫu số và năm 360 ngày nên luôn thấp hơn thực tế — đề hỏi "lợi suất nào kém phản ánh thực tế nhất" thì chọn BDY. Money market yield cũng năm 360 ngày nhưng lấy giá mua làm mẫu số. Bond equivalent yield dùng năm 365 ngày.
2 · Rates & Returns — các loại lợi suất và cách chọn trung bình
Phân biệt lợi suất nắm giữ với lợi suất gộp liên tục, và chọn đúng loại trung bình theo cách đề mô tả giao dịch.
Phân biệt: Holding period return vs Continuously compounded return
Holding period return (HPR) — lợi suất nắm giữ, tính đơn giản bằng phần trăm thay đổi giá trị trong kỳ.
Continuously compounded return / Log return — lợi suất gộp liên tục, bằng logarit tự nhiên của (1 + HPR).
Khi cổ phiếu tăng giá, lợi suất nắm giữ luôn lớn hơn lợi suất gộp liên tục, vì ln(1 + x) < x với mọi x dương. Đề hỏi "cái nào lớn hơn" thì chọn holding period return. Ngược lại khi giá giảm, log return âm sâu hơn.
Công thức
HPR = (P1 − P0 + D1) / P0
rcontinuous = ln(1 + HPR) = ln(P1 / P0)
HPR nhiều kỳ = (1 + R1)(1 + R2)…(1 + Rn) − 1
Bẫy đọc đề HPR
Tính HPR: để ý đề bảo tính năm nào. Đề hay cho chuỗi giá 3–4 năm rồi chỉ hỏi lợi suất của một năm cụ thể, hoặc hỏi lợi suất của toàn bộ giai đoạn. Đọc kỹ mốc đầu và mốc cuối trước khi bấm máy.
Chọn loại trung bình — mẹo "cùng tiền hay cùng cổ phiếu"
Mẹo gốc trong vở (Tab 71)
Cùng số tiền mỗi lần → Harmonic mean. Mua $1,000 ở giá 10 được 100 cổ; mua $1,000 ở giá 20 được 50 cổ. Giá vốn bình quân = 2,000 / 150 = 13.33.
Cùng số cổ phiếu mỗi lần → Arithmetic mean. Mua 100 cổ giá 10 và 100 cổ giá 20. Giá vốn bình quân = (10 + 20)/2 = 15.
Với dữ liệu không âm và không hoàn toàn bằng nhau: Harmonic ≤ Geometric ≤ Arithmetic.
Chốt hay bị hỏi
Phương sai càng lớn thì trung bình nhân càng thấp so với trung bình cộng. Biến động càng mạnh, khoảng cách giữa geometric mean và arithmetic mean càng rộng. Nếu tất cả các kỳ có lợi suất giống hệt nhau thì hai giá trị bằng nhau.
Phân biệt: Money-weighted return vs Time-weighted return
Money-weighted rate of return (MWR) — lợi suất theo trọng số dòng tiền, chính là tỷ suất hoàn vốn nội bộ của danh mục; bị ảnh hưởng bởi thời điểm nhà đầu tư nạp thêm hay rút bớt tiền.
Time-weighted rate of return (TWR) — lợi suất theo trọng số thời gian, ghép lợi suất từng đoạn con lại; loại bỏ ảnh hưởng của dòng tiền nên là chuẩn để đánh giá năng lực người quản lý quỹ.
Nếu không có dòng tiền ra vào ở giữa kỳ thì MWR = TWR — lúc đó yếu tố thời điểm không còn vai trò gì nữa.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Thứ tự ba loại trung bình
TĂNG ↑ Arithmetic mean (trung bình cộng) luôn lớn nhất.
GIẢM ↓ Harmonic mean (trung bình điều hòa) luôn nhỏ nhất. Geometric mean nằm giữa: Harmonic ≤ Geometric ≤ Arithmetic.
GIỮ NGUYÊN Cả ba bằng nhau khi mọi quan sát giống hệt nhau (không có biến động).
Vì sao: harmonic phạt nặng các giá trị nhỏ, arithmetic bị các giá trị lớn kéo lên, geometric nhân dồn nên nằm ở giữa.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Biến động (volatility) và khoảng cách giữa hai loại trung bình
TĂNG ↑ Phương sai / biến động (volatility, variance) ↑ → khoảng cách giữa arithmetic mean và geometric mean ↑.
GIẢM ↓ Biến động ↑ → geometric mean ↓ so với arithmetic mean (bị kéo tụt xuống).
GIỮ NGUYÊN Biến động bằng 0 → hai giá trị bằng nhau hoàn toàn.
Vì sao: xấp xỉ Geometric ≈ Arithmetic − σ²/2 — phương sai càng lớn thì phần bị trừ càng lớn.
KEYWORD NHẬN DIỆN — HPR, Money-weighted return và Time-weighted return
internal rate of return of the portfolio → MWRinvestor deposited / withdrew cash → MWRtiming of cash flows matters → MWRevaluate the INVESTOR's experience → MWRevaluate the MANAGER's performance → TWRGIPS standard, comparable across funds → TWRchain-linked sub-period returns → TWRno external cash flows → MWR = TWR
TWR KHÔNG bị ảnh hưởng bởi thời điểm nạp rút tiền
MWR KHÔNG dùng để chấm điểm người quản lý quỹ
Phân biệt: Money-weighted rate of return (MWR) — lợi suất theo trọng số dòng tiền, chính là internal rate of return (IRR) của danh mục, phụ thuộc mạnh vào thời điểm nhà đầu tư nạp thêm hay rút bớt tiền, nên nó đánh giá trải nghiệm của nhà đầu tư. Time-weighted rate of return (TWR) — lợi suất theo trọng số thời gian, ghép các đoạn con lại nên loại bỏ hoàn toàn ảnh hưởng của dòng tiền, dùng để đánh giá năng lực người quản lý quỹ. Đây là bẫy kinh điển: đề mô tả khách hàng nộp thêm tiền ngay trước một đợt tăng giá rồi hỏi "đo năng lực nhà quản lý thì dùng gì" — đáp án luôn là TWR. Holding period return (HPR) chỉ là phần trăm thay đổi giá trị trong một kỳ, gồm cả thu nhập lẫn lãi vốn.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Chọn loại trung bình nào
same dollar amount each purchase → Harmonic meanaverage cost per share of a cost-averaging plan → Harmonic meansame number of shares each time → Arithmetic meanbest estimate of NEXT period return → Arithmetic meancompound annual growth over multiple years → Geometric meanportfolio với tỷ trọng khác nhau → Weighted meanexclude the top and bottom x% → Trimmed meanreplace extreme values by boundary values → Winsorized mean
Trimmed KHÔNG phải Winsorized
Geometric KHÔNG dùng để dự báo một kỳ tới
Phân biệt: Trimmed mean — trung bình cắt đuôi, loại bỏ hẳn một tỷ lệ phần trăm quan sát ở hai đầu (cỡ mẫu giảm). Winsorized mean — trung bình thay thế, giữ nguyên số quan sát nhưng thay giá trị cực đoan bằng giá trị ở ngưỡng cắt. Cả hai đều nhằm giảm ảnh hưởng của giá trị ngoại lai (outlier).
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q42: "A stock increased in value last year. Which will be greater, its continuously compounded or its holding period return?"
→ Đáp án: Holding period return. Vì rcontinuous = ln(1 + HPR) và ln(1 + x) < x với mọi x dương, nên logarit luôn "nén" con số xuống. Ví dụ HPR = 20% thì log return chỉ còn 18.2%.
Nhớ theo chiều: giá tăng thì HPR > log return; giá giảm thì log return âm sâu hơn HPR. Chỉ khi lợi suất đúng bằng 0% thì hai cái mới bằng nhau.
3 · Thống kê mô tả — trung tâm, phân tán, hình dạng
Các thước đo mô tả dữ liệu mà CFA hay hỏi mẹo: phân vị, độ phân tán, hệ số biến thiên, độ lệch, và biểu đồ hộp.
Số điểm cắt luôn bằng số phần trừ 1: chia 4 phần thì chỉ có 3 điểm cắt. Đây là chỗ đề hay gài.
Box-and-whisker plot — đọc hình
Box — cái hộp thể hiện khoảng tứ phân vị (IQR), tức từ phân vị 25% đến phân vị 75%.
Whiskers — hai râu thể hiện khoảng biến thiên (Range), kéo tới giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
Line inside box — vạch giữa hộp là trung vị (Median), không phải trung bình.
Các thước đo phân tán
Công thức cần thuộc
Range = Max − Min
MAD (Mean absolute deviation) = Σ |Xi − X̄| / n
Sample variance s² = Σ (Xi − X̄)² / (n − 1)
Coefficient of variation CV = s / X̄ → rủi ro trên mỗi đơn vị lợi suất, CV càng thấp càng tốt
Target semideviation = √[ Σ(Xi < B) (Xi − B)² / (n − 1) ]
Bẫy Target semideviation — chỗ bạn tự ghi trong vở
Target semideviation — độ lệch bán phần so với mục tiêu, chỉ đo rủi ro giảm giá (downside risk), tức là phần lợi suất bị hụt so với mức mục tiêu.
Cách làm đúng: chỉ lấy các quan sát nằm dưới mục tiêu, tính phần thiếu (ví dụ mục tiêu 4%, quan sát 2% thì thiếu −2; quan sát −2% thì thiếu −6), rồi bình phương lên và cộng lại.
Nhưng mẫu số vẫn là n − 1 với n là tổng số quan sát, chứ không phải số quan sát nằm dưới mục tiêu. Đây là cái bẫy chính.
Phân biệt: Coefficient of variation vs Standard deviation
Standard deviation — độ lệch chuẩn, đo phân tán theo đơn vị gốc của dữ liệu, nên không so sánh được giữa hai tập có quy mô khác nhau.
Coefficient of variation — hệ số biến thiên, là độ lệch chuẩn chia cho trung bình, không có đơn vị, nên dùng để so sánh rủi ro tương đối giữa các khoản đầu tư có mức lợi suất khác nhau.
Phân biệt: Time-series vs Cross-sectional data
Time-series data — dữ liệu chuỗi thời gian, theo dõi một đối tượng qua nhiều thời điểm, ví dụ giá cổ phiếu FPT trong 60 tháng.
Cross-sectional data — dữ liệu chéo, quan sát nhiều đối tượng tại cùng một thời điểm, ví dụ tỷ suất lợi nhuận của 500 công ty trong quý 4 năm nay.
Ghép cả hai lại thì gọi là Panel data — dữ liệu bảng.
Skewness và Kurtosis
Thứ tự Mode – Median – Mean (Mock 1, Q69)
Positively skewed — lệch phải: mode < median < mean.
Negatively skewed — lệch trái: mode > median > mean.
Cách nhớ theo đúng chữ bạn viết: lệch phải nên mean nằm ngoài cùng bên phải, vì các giá trị ngoại lai lớn kéo trung bình đi xa nhất. Trung bình luôn bị kéo về phía đuôi dài.
Frequency distribution — hai điều kiện bắt buộc
Các khoảng của bảng tần suất phải: Mutually exclusive (non-overlapping) — không chồng lấn nhau; và Collectively exhaustive — phủ hết toàn bộ dữ liệu.
Nguyên văn CFA: frequency distribution should always be non-overlapping and closed-ended so that each data value can be placed into only one interval — mỗi giá trị dữ liệu chỉ được rơi vào đúng một khoảng duy nhất.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Skewness (độ lệch)
TĂNG ↑ Positively skewed / right-skewed (lệch phải, skewness > 0): đuôi dài bên phải → mean > median > mode. Có nhiều lãi lớn bất thường kéo trung bình lên.
GIẢM ↓ Negatively skewed / left-skewed (lệch trái, skewness < 0): đuôi dài bên trái → mean < median < mode. Có vài khoản lỗ rất nặng kéo trung bình xuống.
GIỮ NGUYÊN Phân phối đối xứng (symmetric), skewness = 0: mean = median = mode.
Vì sao: mean là đại lượng nhạy nhất với giá trị ngoại lai nên luôn bị kéo về phía đuôi dài; mode đứng yên ở đỉnh cao nhất; median kẹp ở giữa.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Kurtosis (độ nhọn)
TĂNG ↑ Leptokurtic (kurtosis > 3, excess kurtosis > 0): đuôi dày hơn, đỉnh nhọn hơn phân phối chuẩn → rủi ro đuôi (tail risk) ↑, xác suất xảy ra biến cố cực đoan ↑, VaR thực tế ↑.
GIẢM ↓ Platykurtic (kurtosis < 3, excess kurtosis < 0): đuôi mỏng hơn, đỉnh bẹt hơn → rủi ro đuôi ↓.
GIỮ NGUYÊN Mesokurtic: kurtosis = 3, excess kurtosis = 0, giống hệt phân phối chuẩn.
Vì sao: lợi suất tài chính thực tế hầu hết là leptokurtic, nên mô hình giả định phân phối chuẩn thường đánh giá thấp rủi ro thua lỗ cực đoan.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Population và Sample (chia N hay chia n − 1)
the entire population / all members → chia Npopulation variance σ², population mean μ → chia Na sample of / randomly selected → chia n − 1sample variance s², sample mean X̄ → chia n − 1unbiased estimator → chia n − 1degrees of freedom → luôn gắn với sample
MAD luôn chia n, KHÔNG chia n − 1
Tham số (parameter) KHÔNG bao giờ tính từ mẫu
Phân biệt: Population (tổng thể) mô tả bằng parameter — ký hiệu Hy Lạp μ, σ², σ, ρ; mẫu số là N. Sample (mẫu) mô tả bằng statistic — ký hiệu La-tinh X̄, s², s, r; mẫu số là n − 1 vì mất một bậc tự do (degrees of freedom) khi đã dùng X̄ để tính. Chia n − 1 làm phương sai mẫu lớn hơn một chút, đó chính là hiệu chỉnh Bessel cho ước lượng không chệch (unbiased). Riêng mean absolute deviation (MAD) luôn chia cho n dù là mẫu hay tổng thể.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Các thước đo phân tán (dispersion measures)
squared deviations from the mean → Variancesame unit as the data, square root of variance → Standard deviationabsolute deviations, chia n → MADonly returns BELOW a target are squared → Target downside deviationrisk per unit of return, no units, so sánh 2 tài sản khác quy mô → Coefficient of variationbelow the MEAN thay vì below a target → Semivariancemax − min → Range
CV thấp mới tốt, KHÔNG phải cao
Target downside deviation KHÔNG chia số quan sát dưới ngưỡng
Phân biệt: Variance (phương sai) đo bằng đơn vị bình phương nên khó diễn giải; Standard deviation (độ lệch chuẩn) đưa về đúng đơn vị gốc. Mean absolute deviation (MAD) lấy trị tuyệt đối thay vì bình phương nên ít nhạy với ngoại lai hơn và luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ lệch chuẩn. Target downside deviation / target semideviation chỉ đo phần hụt so với ngưỡng mục tiêu B, nhưng mẫu số vẫn là n − 1 với n là TỔNG số quan sát. Coefficient of variation (CV) = s / X̄, không đơn vị, dùng so sánh rủi ro tương đối; CV càng thấp càng tốt vì chịu ít rủi ro trên mỗi đơn vị lợi suất.
4 · Đếm tổ hợp — Combination, Permutation, Multinomial
Ba công thức đếm và cách nhận ra ngay dùng cái nào chỉ bằng một câu trong đề.
Phân biệt: Combination vs Permutation
Combination — tổ hợp, dùng khi thứ tự không quan trọng. Ví dụ trong vở: quỹ đầu tư chọn 10 cổ phiếu từ danh sách 500 cổ phiếu; chọn ai trước ai sau không đổi kết quả danh mục.
Permutation — chỉnh hợp, dùng khi thứ tự quan trọng. Ví dụ trong vở: xếp ra người quản lý xuất sắc nhất, nhì, ba; đổi vị trí là đổi kết quả.
Mẹo nhanh: thấy chữ rank / order / first, second, third thì là permutation; thấy select / choose / committee / portfolio thì là combination.
Ví dụ Multinomial có số
Chia 12 nhân viên thành 3 đội, mỗi đội 4 người. Có bao nhiêu cách?
12! / (4! × 4! × 4!) = 479,001,600 / (24 × 24 × 24) = 479,001,600 / 13,824 = 34,650.
Đáp án 3,326,400 là kết quả nếu bạn quên chia đủ giai thừa của cả ba nhóm; đáp án 144 thì quá nhỏ, loại ngay.
5 · Xác suất, kỳ vọng và các thước đo liên kết
Gói "all in one" của bạn: kỳ vọng, hiệp phương sai, tương quan, phương sai, độ lệch chuẩn — và cách tính từ bảng xác suất chung.
All in one — Expected return, Covariance, Correlation, Variance, SD
E(X) = Σ P(xi) · xi
Var(X) = σ² = Σ P(xi) · [xi − E(X)]² → SD = σ = √Var(X)
Cov(A,B) = E(AB) − E(A)·E(B) = Σ P(i) · [Ai − E(A)] · [Bi − E(B)]
Corr(A,B) = ρ = Cov(A,B) / (σA · σB) → luôn nằm trong [−1, +1]
E(Rp) = w1E(R1) + w2E(R2)
Var(Rp) = w1²σ1² + w2²σ2² + 2w1w2Cov(1,2)
Phân biệt: Covariance vs Correlation
Covariance — hiệp phương sai, cho biết hai biến có di chuyển cùng chiều hay ngược chiều, nhưng có đơn vị và độ lớn không giới hạn nên không nói được mạnh hay yếu.
Correlation — hệ số tương quan, là hiệp phương sai đã chuẩn hóa bằng cách chia cho tích hai độ lệch chuẩn, không có đơn vị và luôn nằm trong khoảng từ −1 đến +1 nên đọc được cả chiều lẫn độ mạnh.
Mock 1 — Q58: tính Covariance từ bảng xác suất chung
Bảng joint probability: (RA = 10%, RB = 20%) với xác suất 0.2; (0%, 15%) với 0.5; (−10%, 10%) với 0.3.
E(A) = 0.2(10) + 0.5(0) + 0.3(−10) = −1
E(B) = 0.2(20) + 0.5(15) + 0.3(10) = 14.5
E(AB) = 0.2(10×20) + 0.5(0×15) + 0.3(−10×10) = 40 + 0 − 30 = 10
Cov(A,B) = 10 − (−1 × 14.5) = 24.5 (nếu để dạng thập phân: 0.00245)
Câu hỏi thật sự là: cần thêm thông tin gì để tính hiệp phương sai? → Không cần gì thêm. Trọng số danh mục chỉ cần khi tính lợi suất hoặc phương sai danh mục; phương sai từng tài sản chỉ cần khi muốn đổi hiệp phương sai thành tương quan.
Mock 1 — Q61: expected growth rate hai bước
Xác suất: Suy thoái 30% → ROE 10%; Bình thường 40% → ROE 15%; Bùng nổ 30% → ROE 30%. Công ty chia 50% lợi nhuận làm cổ tức.
Bước 1 — ROE kỳ vọng: 0.3(10) + 0.4(15) + 0.3(30) = 3 + 6 + 9 = 18%
Bước 2 — tỷ lệ giữ lại (retention ratio) = 1 − 50% = 0.5 → g = b × ROE = 0.5 × 18% = 9%
Bẫy: chọn 18% là quên nhân tỷ lệ giữ lại; đây là câu hai bước, đừng dừng ở bước một.
Mock 1 — Q90: Bayes, đảo chiều xác suất có điều kiện
P(E) = 45% (lợi nhuận tăng hơn 10%). P(D | E) = 70% (trong nhóm đó, cổ tức tăng). P(D | không E) = 30%.
P(D và E) = 0.45 × 0.70 = 0.315
P(D và không E) = 0.55 × 0.30 = 0.165
P(D) = 0.315 + 0.165 = 0.48
P(E | D) = 0.315 / 0.48 = 0.65625 ≈ 66%
Bẫy: câu "a probability of 70% that such a stock will increase its dividend" là xác suất có điều kiện, không phải xác suất chung. Đọc nhầm thành P(D) = 0.70 là ra sai ngay.
Bayes — công thức gốc
P(E | D) = P(D | E) × P(E) / P(D)
Với P(D) = P(D|E)·P(E) + P(D|không E)·P(không E) ← luật xác suất toàn phần
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q58: "Calculating the covariance of the asset returns requires…" → không cần thêm thông tin gì (no other information).
Bảng joint probability đã cho đủ mọi thứ: từ đó tính được E(A), E(B), E(AB) rồi ra Cov(A,B) = E(AB) − E(A)E(B) = 24.5.
Vì sao hai đáp án kia sai: "the weights for each asset" — trọng số chỉ cần khi tính lợi suất hoặc phương sai danh mục, không liên quan tới hiệp phương sai giữa hai tài sản. "The variance of each asset's returns" — phương sai từng tài sản chỉ cần khi muốn quy đổi covariance thành correlation.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q61: tính expected growth rate từ bảng xác suất ROE, biết công ty chia 50% lợi nhuận làm cổ tức. Đáp án đúng 9%, không phải 18%.
Đây là câu hai bước: bước 1 tính E(ROE) = 18%; bước 2 nhân với retention ratio (tỷ lệ lợi nhuận giữ lại) b = 1 − 0.5 = 0.5 → g = b × ROE = 9%.
Chốt công thức: Sustainable growth rate g = retention ratio × ROE. Thấy chữ "pays out x% of its earnings as dividends" là phải lấy 1 − x% trước khi nhân. Dừng ở 18% là bẫy chính của câu này.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q90: bài Bayes đảo chiều xác suất có điều kiện. Đáp án 66%.
Bẫy chữ: câu "a probability of 70% that such a stock will increase its dividend" là conditional probability P(D | E) = 0.70, KHÔNG phải xác suất không điều kiện P(D). Đọc nhầm thành P(D) = 0.70 là ra đáp án khác ngay.
Quy trình an toàn: (1) đặt tên biến cố; (2) dùng total probability rule để tìm P(D) = 0.45×0.70 + 0.55×0.30 = 0.48; (3) mới áp Bayes: P(E|D) = 0.315 / 0.48 = 65.6%.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Quy tắc cộng và nhân xác suất
TĂNG ↑ Hai biến cố độc lập (independent): P(AB) = P(A) × P(B) — cứ nhân thẳng, vì biết A không thay đổi gì về B.
TĂNG ↑ Hai biến cố loại trừ nhau (mutually exclusive): P(A hoặc B) = P(A) + P(B) — cộng thẳng, vì không có phần giao nhau.
GIẢM ↓ Trường hợp tổng quát (có giao nhau): P(A hoặc B) = P(A) + P(B) − P(AB) — phải trừ phần đếm trùng, nên kết quả nhỏ hơn phép cộng thẳng.
GIỮ NGUYÊN Nếu độc lập thì P(A | B) = P(A) — xác suất có điều kiện bằng đúng xác suất ban đầu, không đổi.
Vì sao: độc lập là điều kiện về phép nhân, loại trừ nhau là điều kiện về phép cộng — hai chuyện hoàn toàn khác nhau, đừng lẫn.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Independent, Mutually exclusive, Conditional, Joint, Bayes
knowing one gives no information about the other → IndependentP(A|B) = P(A) → Independentcannot occur at the same time → Mutually exclusiveP(AB) = 0 → Mutually exclusive"given that" / "if X has occurred" → Conditional probability P(A|B)"both … and" / "AND" → Joint probability P(AB)"either … or" / "OR" → Addition ruleupdating a prior with new information → Bayes' formula"reverse the condition" P(B|A) từ P(A|B) → Bayes
Mutually exclusive KHÔNG có nghĩa là independent
Independent KHÔNG có nghĩa là mutually exclusive
Phân biệt: hai biến cố mutually exclusive (loại trừ nhau) có P(AB) = 0, mà nếu cả hai có xác suất dương thì P(A)P(B) > 0 → chúng chắc chắn KHÔNG độc lập. Đây là bẫy lý thuyết hay gặp nhất. Joint probability P(AB) là xác suất cả hai cùng xảy ra; conditional probability P(A|B) là xác suất A xảy ra khi đã biết B xảy ra, tính bằng P(AB)/P(B). Bayes' formula dùng khi đề cho chiều này rồi hỏi chiều ngược lại: có P(D|E) mà hỏi P(E|D). Total probability rule là bước trung gian bắt buộc để tìm mẫu số.
6 · Bốn trường hợp LỪA về Correlation
Bốn phát biểu nghe rất hợp lý về tương quan nhưng đều sai — đây là chỗ CFA ra đề lý thuyết nhiều nhất.
Mind map — 4 cái bẫy Correlation
- CORRELATION
- Bẫy 1 — Nhân quả
- Correlation ≠ Causation — chỉ đo association / co-movement
- Kem & chết đuối — trời nóng mới là nguyên nhân chung
- Bẫy 2 — Corr = 0
- Chỉ nói không có quan hệ tuyến tính — vẫn có thể quan hệ cong hình chữ U
- Tốc độ & tiêu hao xăng — hai xu hướng ngược nhau triệt tiêu
- Bẫy 3 — Độc lập
- Độc lập ⇒ Corr = 0 — chiều này đúng
- Corr = 0 ⇏ Độc lập — độc lập là điều kiện mạnh hơn
- Bẫy 4 — Outliers
- Rất nhạy với giá trị ngoại lai — phải xem Scatterplot
Bẫy 1 — Tương quan không chứng minh nhân quả
Correlation — hệ số tương quan chỉ đo mức độ đi cùng nhau (association / co-movement), hoàn toàn không chứng minh biến này gây ra biến kia. Ví dụ trong vở: doanh số bán kem tăng và số ca chết đuối tăng. Không phải ăn kem gây chết đuối — thời tiết nóng mới là biến ẩn làm cả hai cùng tăng.
Bẫy 2 — Tương quan bằng 0 không có nghĩa là không có quan hệ
Corr(X,Y) = 0 chỉ có nghĩa không có quan hệ tuyến tính đáng kể, vẫn có thể tồn tại quan hệ phi tuyến rất rõ ràng.
Hai ví dụ hình chữ U trong vở bạn
Mức độ căng thẳng và hiệu suất làm việc: quá ít căng thẳng thì thiếu động lực, căng thẳng vừa phải thì làm tốt nhất, căng thẳng quá cao thì hiệu suất giảm. Đây là quan hệ cong, không phải đường thẳng.
Tốc độ lái xe và mức tiêu hao xăng: lái quá chậm thì xe chạy không hiệu quả nên tốn xăng; lái ở tốc độ vừa phải thì tiết kiệm xăng nhất; lái quá nhanh thì lực cản không khí tăng nên lại tốn xăng. Nếu dữ liệu có đủ cả xe chạy chậm và xe chạy nhanh, tương quan tuyến tính giữa tốc độ và mức tiêu hao xăng có thể gần bằng 0 vì hai xu hướng ngược nhau triệt tiêu lẫn nhau. Nhưng hai biến rõ ràng không độc lập: biết tốc độ vẫn giúp dự đoán mức tiêu hao xăng.
⇒ Corr = 0 không có nghĩa là "No relationship", mà chỉ có nghĩa là "No linear relationship".
Bẫy 3 — Chiều nào đúng, chiều nào sai
Một chiều thôi
Independence ⇒ Zero covariance / correlation — nếu hai biến độc lập thì hiệp phương sai và tương quan bằng 0. Chiều này ĐÚNG.
Zero covariance / correlation ⇏ Independence — tương quan bằng 0 KHÔNG suy ra được độc lập.
Độc lập là điều kiện mạnh hơn. Ví dụ về độc lập thật sự: kết quả tung đồng xu ở Hà Nội và kết quả tung xúc xắc ở Sài Gòn — biết kết quả đồng xu không giúp dự đoán gì về xúc xắc.
Bẫy 4 — Tương quan rất nhạy với giá trị ngoại lai
Ví dụ cửa hàng quảng cáo
Một cửa hàng phân tích quan hệ giữa chi phí quảng cáo và doanh thu trong 12 tháng. Bình thường chi quảng cáo tăng thì doanh thu tăng, tương quan ban đầu r = 0.75.
Nhưng có một tháng cửa hàng chi rất nhiều (500 triệu) mà doanh thu chỉ 100 triệu — có thể do chiến dịch thất bại, sai đối tượng khách hàng hoặc website gặp sự cố. Quan sát này nằm rất xa các tháng còn lại và đi ngược xu hướng chung, nên tương quan có thể tụt mạnh từ 0.75 xuống 0.30 hoặc thậm chí gần 0.
⇒ Không nên chỉ nhìn con số hệ số tương quan. Phải xem Scatterplot để phát hiện bất thường.
Ba câu nghe giống nhau nhưng diễn giải khác nhau — đọc thật chậm
CHỐT TĂNG/GIẢM — Hệ số tương quan (correlation coefficient) và giá trị ngoại lai
TĂNG ↑ Một outlier (giá trị ngoại lai) nằm đúng theo xu hướng chung có thể đẩy r lên rất mạnh, tạo cảm giác quan hệ chặt chẽ giả tạo.
GIẢM ↓ Một outlier đi ngược xu hướng chung có thể kéo r tụt rất mạnh — ví dụ trong vở: r từ 0.75 tụt xuống 0.30 hoặc gần 0 chỉ vì đúng một tháng bất thường.
GIỮ NGUYÊN r không đổi khi đổi đơn vị đo (từ nghìn sang triệu, từ USD sang VND) vì r không có đơn vị; và r không hề đo quan hệ phi tuyến — quan hệ hình chữ U rất mạnh vẫn có thể cho r ≈ 0.
Vì sao: r chỉ đo quan hệ tuyến tính và được tính từ tích các độ lệch, nên một quan sát cực đoan có sức nặng rất lớn. Luôn xem scatterplot trước khi tin con số r.
7 · Phân phối xác suất — Binomial, Normal, bảng Z, Shortfall risk, Monte Carlo
Các phân phối phải thuộc, các giá trị Z hay xuất hiện, và hai khái niệm rủi ro dễ nhầm là shortfall risk với tracking error.
Binomial distribution
Binomial distribution — phân phối nhị thức, mô tả số lần thành công trong n phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả với xác suất thành công p không đổi.
Chốt bị hỏi thẳng
Phân phối nhị thức đối xứng khi và chỉ khi p = 0.50, còn mọi giá trị p khác đều làm nó lệch.
Đề: "binomial random variable with five trials and a probability of success on each trial of 0.50, the distribution will be…" → symmetric. Số lần thử (5) hoàn toàn không liên quan, chỉ p mới quyết định tính đối xứng.
E(X) = n·p ; Var(X) = n·p·(1 − p)
Normal distribution và các giá trị Z hay xuất hiện
Bẫy 1.645 vs 1.96 — hay mất điểm nhất
Cùng là "5%" nhưng khác nhau hoàn toàn: 1.645 là mức 5% cho kiểm định một đuôi; 1.96 là mức 5% cho kiểm định hai đuôi (mỗi bên 2.5%). Nhìn dấu trong Ha để biết mấy đuôi rồi mới tra bảng.
Chuẩn hóa và khoảng tin cậy
Z = (X − μ) / σ
Khoảng tin cậy cho trung bình: X̄ ± zα/2 · (σ / √n)
Nếu chưa biết phương sai tổng thể: X̄ ± tα/2, n−1 · (s / √n)
Shortfall risk và các thước đo rủi ro so sánh
Mock 1 — Q83: định nghĩa chuẩn
Shortfall risk — rủi ro thiếu hụt, là xác suất lợi suất thực tế của danh mục trong một khoảng thời gian cho trước thấp hơn một mức target return đã định trước.
Ví dụ quỹ hưu trí: cần 5% mỗi năm để trả lương hưu; nếu lợi suất dưới 5% thì thiếu tiền trả.
Vì sao đáp án "so với benchmark" sai: benchmark là so sánh tương đối với chỉ số tham chiếu, còn shortfall risk là hiệu quả tuyệt đối so với một mục tiêu cố định.
Keyword lừa cần cảnh giác: "benchmark", "index", "S&P 500" — thấy mấy chữ này thì đó không phải shortfall risk.
Phân biệt: Shortfall risk vs Tracking error vs Sharpe ratio — so với cái gì?
Thêm:
Roy's safety-first ratio = (E(R
p) − R
L) / σ
p, chọn danh mục có tỷ số này
cao nhất thì shortfall risk thấp nhất.
Monte Carlo simulation
Mock 1 — Q45: câu bạn chọn sai
Hỏi: hạn chế của Monte Carlo simulation là gì?
Bạn chọn "Inputs are restricted to historical data" — SAI, vì đây mới đúng là hạn chế của Historical simulation, phương pháp chỉ lấy lại dữ liệu quá khứ. Monte Carlo thì ngược lại: bạn được tự do chọn bất kỳ phân phối đầu vào nào.
Đáp án đúng: "Simulation parameters can be misspecified" — tham số mô phỏng có thể bị đặc tả sai.
Đáp án C sai hoàn toàn vì định giá chứng khoán phức tạp chính là thế mạnh chứ không phải điểm yếu của Monte Carlo.
Phân biệt: Monte Carlo simulation vs Historical simulation
Monte Carlo simulation — mô phỏng bằng cách tự sinh số ngẫu nhiên từ phân phối do người phân tích chỉ định; rất linh hoạt nhưng phụ thuộc vào chất lượng giả định.
Historical simulation — mô phỏng bằng cách lấy lại chính các thay đổi đã xảy ra trong quá khứ; đơn giản và không cần giả định phân phối, nhưng bị giới hạn ở những gì đã từng xảy ra và giả định rằng quá khứ sẽ lặp lại.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Số phép thử n trong phân phối nhị thức (binomial)
TĂNG ↑ Số phép thử n ↑ → phân phối nhị thức tiến gần phân phối chuẩn (normal distribution); kỳ vọng E(X) = n·p ↑ và phương sai Var(X) = n·p·(1 − p) ↑.
GIỮ NGUYÊN Tính đối xứng chỉ do p quyết định: p = 0.50 thì đối xứng dù n bằng bao nhiêu; p ≠ 0.50 thì luôn lệch. n hoàn toàn không quyết định tính đối xứng.
GIẢM ↓ Phương sai n·p·(1 − p) đạt cực đại đúng tại p = 0.5 và giảm dần khi p tiến về 0 hoặc về 1.
Vì sao: mỗi phép thử là một biến ngẫu nhiên độc lập, cộng nhiều biến độc lập lại thì theo định lý giới hạn trung tâm tổng sẽ tiến về phân phối chuẩn.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Roy's safety-first criterion (SFRatio)
TĂNG ↑ SFRatio càng CAO càng TỐT. SFRatio = [E(Rp) − RL] / σp. Lợi suất kỳ vọng ↑ hoặc ngưỡng tối thiểu RL ↓ → SFRatio ↑.
GIẢM ↓ SFRatio ↑ → shortfall risk ↓ (xác suất rơi xuống dưới ngưỡng tối thiểu giảm). Độ lệch chuẩn σp ↑ → SFRatio ↓.
GIỮ NGUYÊN Nếu thay RL bằng lãi suất phi rủi ro (risk-free rate) thì công thức trở thành Sharpe ratio — cấu trúc giống hệt, chỉ khác mốc so sánh.
Vì sao: SFRatio chính là số độ lệch chuẩn từ lợi suất kỳ vọng xuống tới ngưỡng tối thiểu — càng nhiều độ lệch chuẩn thì càng khó rơi xuống dưới ngưỡng. Đề hỏi "danh mục nào tốt nhất theo safety-first" → chọn danh mục có SFRatio lớn nhất.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Discrete, Continuous và bảy phân phối phải thuộc
countable outcomes, đếm được → Discrete distributionany value in an interval, P(X = x) = 0 → Continuous distributionequally likely over a range → Uniformn independent trials, two outcomes, p không đổi → Binomialbell-shaped, symmetric, mô tả bằng μ và σ → Normalln(X) có phân phối chuẩn, X > 0, lệch phải → Lognormalσ chưa biết, đuôi dày hơn chuẩn, cần df → Student's tmột phương sai, chỉ dương, lệch phải → Chi-squaretỷ số hai phương sai, hai bậc tự do → F
Binomial KHÔNG phải continuous
Lognormal KHÔNG nhận giá trị âm
Phân biệt: Discrete (rời rạc) đếm được từng kết quả nên P(X = x) có thể dương; Continuous (liên tục) thì xác suất tại một điểm luôn bằng 0, chỉ có xác suất trên một khoảng. Normal mô tả tốt lợi suất (returns) vì lợi suất có thể âm; Lognormal mô tả tốt giá tài sản (asset prices) vì giá không bao giờ âm và phân phối lệch phải. Nếu lợi suất gộp liên tục có phân phối chuẩn thì giá tương lai có phân phối lognormal. Student's t đuôi dày hơn chuẩn nên giá trị tới hạn luôn lớn hơn z. Chi-square và F đều chỉ nhận giá trị dương và lệch phải, nên hai giá trị tới hạn của kiểm định hai đuôi không đối xứng qua 0.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q83: "A portfolio's shortfall risk is most accurately described as the probability that the portfolio's return over a given time period is less than…" → a particular target return.
Keyword lừa phải cảnh giác: "benchmark", "index", "S&P 500", "comparable portfolio" — thấy mấy chữ này thì đó là tracking error / active risk, đo hiệu quả tương đối, không phải shortfall risk. Đáp án "risk-free rate" là mẫu của Sharpe ratio.
Nhớ theo bản chất: shortfall risk là hiệu quả tuyệt đối so với một mục tiêu do chính nhà đầu tư đặt ra. Ví dụ quỹ hưu trí cần 5%/năm để trả lương hưu — dưới 5% là thiếu tiền, bất kể thị trường chung ra sao.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q69: "If the skewness of a random variable's distribution is…" → positive, the mode is less than the median, which is less than the mean.
Ba đáp án chỉ khác nhau ở thứ tự và ở dấu của skewness, nên phải đọc từng chữ. Đáp án A đảo mean với median; đáp án C gán thứ tự của lệch phải cho lệch trái.
Câu thần chú theo đúng chữ bạn ghi: "lệch phải nên mean nằm ngoài cùng bên phải, vì các giá trị ngoại lai lớn kéo trung bình đi xa nhất". Lệch trái thì đảo ngược toàn bộ: mode > median > mean.
8 · Lấy mẫu & ước lượng — Sampling error, Bootstrap, Jackknife, Permutation
Sai số lấy mẫu là gì, và ba phương pháp lấy mẫu lặp lại rất dễ nhầm lẫn với nhau.
Sampling error — hỏi thẳng trong mock
Sampling error = Statistic − Population parameter — sai số lấy mẫu là chênh lệch giữa thống kê tính từ mẫu và tham số thật của tổng thể.
Statistic — thống kê, đến từ mẫu. Parameter — tham số, thuộc về tổng thể.
Ví dụ: lớp 100 người có chiều cao trung bình thật là 160 cm. Bạn chỉ đo ngẫu nhiên 10 người và tính được 158 cm. Sampling error = 158 − 160 = −2 cm.
Vì sao các đáp án khác sai: "mean of the sample" tự nó chính là thống kê rồi, không phải sai số. "Observed value of a random variable" chỉ là một giá trị riêng lẻ, ví dụ chiều cao của một người là 162 cm.
Mẹo nhớ CFA của bạn — Hypothesis = Population, Evidence = Sample
Population parameter — tham số tổng thể là thứ nằm trong cả H₀ và H₁. Giả thuyết luôn luôn phát biểu về tổng thể, không bao giờ về mẫu.
Sample statistic — thống kê mẫu là thứ dùng để kiểm định H₀, tức là bằng chứng.
Nếu đề hỏi "giả thuyết nói về cái gì" thì đáp án luôn là tham số tổng thể, và nó xuất hiện ở cả hai giả thuyết.
Ba phương pháp resampling
Mẹo ba chữ trong vở bạn
Jackknife = delete (bỏ đi) — "mỗi người bị đá ra 1 lần".
Bootstrap = borrow (lấy lại).
Permutation = shuffle (xáo trộn).
Phân biệt: Bootstrap vs Jackknife — chi tiết từng ý
Bootstrap — phương pháp lấy mẫu lặp lại ngẫu nhiên có hoàn lại từ mẫu gốc để mô phỏng phân phối lấy mẫu và ước lượng sai số chuẩn hoặc khoảng tin cậy; rất linh hoạt nhưng tốn tính toán hơn, phù hợp với các thống kê phức tạp.
Nguyên văn CFA cần nhận diện: "mimics the random sampling process by treating the randomly drawn sample as if it were the population" — mô phỏng quá trình lấy mẫu ngẫu nhiên bằng cách xem mẫu đã thu thập như thể nó chính là tổng thể.
Jackknife — phương pháp bỏ ra một quan sát một cách có hệ thống, không hoàn lại, để đánh giá độ chệch, phương sai và độ ổn định của ước lượng; đơn giản và nhẹ hơn về mặt tính toán.
Mock 1 — Q79: "To estimate the standard error of the sample mean using jackknife resampling, an analyst should remove how many observations from each sample?" → Một.
Bootstrap — năm bước theo đúng ghi chép của bạn
1. Có một mẫu ban đầu gồm n quan sát.
2. Xem mẫu này như một "tổng thể thu nhỏ".
3. Lấy mẫu lại nhiều lần, mỗi lần vẫn lấy đủ n quan sát, có hoàn lại.
4. Tính thống kê cho từng mẫu lặp lại.
5. Dùng các thống kê đó để ước lượng phân phối lấy mẫu.
Lưu ý: bootstrap KHÔNG đảm bảo mọi quan sát đều xuất hiện trong các mẫu lặp lại — có quan sát bị lấy hai ba lần, có quan sát không được lấy lần nào.
Đây là phương pháp mô phỏng / lấy mẫu lại, không dựa chủ yếu vào công thức giải tích. Hữu ích khi: công thức phân phối của ước lượng khó tìm; phân phối lấy mẫu không rõ; cỡ mẫu không quá lớn.
Central Limit Theorem — nền của mọi bài ước lượng
Central Limit Theorem — định lý giới hạn trung tâm: khi cỡ mẫu đủ lớn (thường lấy mốc n ≥ 30), phân phối của trung bình mẫu tiến về phân phối chuẩn bất kể tổng thể gốc có phân phối gì.
Standard error of the mean — sai số chuẩn của trung bình = σ / √n (hoặc s / √n nếu chưa biết σ). Cỡ mẫu tăng lên bốn lần thì sai số chuẩn chỉ giảm đi một nửa.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Cỡ mẫu n (sample size)
TĂNG ↑ Cỡ mẫu n ↑ → độ chính xác của ước lượng ↑; power của kiểm định (1 − β) ↑; bậc tự do (degrees of freedom) ↑; trị tuyệt đối của thống kê kiểm định ↑ (dễ bác bỏ H₀ hơn khi H₀ thật sự sai).
GIẢM ↓ Cỡ mẫu n ↑ → standard error σ/√n ↓ → khoảng tin cậy (confidence interval) HẸP hơn; xác suất mắc sai lầm loại II (β) ↓.
GIỮ NGUYÊN Mức ý nghĩa α do người làm bài chọn, không thay đổi theo cỡ mẫu. Độ lệch chuẩn của tổng thể σ cũng không đổi — chỉ có sai số chuẩn của trung bình mới nhỏ đi.
Vì sao: mẫu số là √n chứ không phải n, nên muốn giảm sai số chuẩn một nửa phải tăng cỡ mẫu lên gấp bốn lần. Đây là cách duy nhất tăng power mà không phải tăng α.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Các phương pháp lấy mẫu (sampling methods)
every member has an equal chance → Simple random samplingevery k-th item from a list → Systematic samplingchia tổng thể thành nhóm theo đặc điểm rồi lấy mẫu trong TỪNG nhóm → Stratified random samplingchia thành cụm rồi chọn NGUYÊN vài cụm → Cluster samplingchọn cái nào dễ lấy nhất → Convenience samplingdựa vào kinh nghiệm chuyên gia để chọn → Judgmental samplingbond index replication, khớp đặc điểm ngành và kỳ hạn → Stratified
Cluster KHÔNG lấy mẫu trong mọi nhóm
Convenience và Judgmental KHÔNG phải probability sampling
Phân biệt: Stratified random sampling (lấy mẫu phân tầng) chia tổng thể thành các tầng (strata) đồng nhất rồi lấy mẫu trong mỗi tầng theo tỷ lệ — cho ước lượng chính xác hơn simple random vì bảo đảm đại diện đủ mọi nhóm; đây là cách hay dùng để mô phỏng chỉ số trái phiếu. Cluster sampling (lấy mẫu cụm) chia thành các cụm rồi chọn nguyên vài cụm, các cụm còn lại bỏ hẳn — rẻ hơn nhưng kém chính xác hơn. Convenience (thuận tiện) và Judgmental sampling (theo phán đoán) là non-probability sampling, dễ tạo ra mẫu chệch nên không suy rộng ra tổng thể được.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Sampling error và các loại sai lệch (bias)
difference between a statistic and the population parameter → Sampling errorsample không đại diện cho tổng thể → Sampling biasthử đi thử lại nhiều mô hình trên cùng bộ dữ liệu cho tới khi ra kết quả đẹp → Data-snooping biaschỉ còn lại các quỹ / công ty CÒN TỒN TẠI trong mẫu → Survivorship biasdùng thông tin mà tại thời điểm đó chưa công bố → Look-ahead biasgiai đoạn nghiên cứu quá ngắn hoặc quá đặc thù → Time-period biaschỉ người quan tâm mới trả lời khảo sát → Self-selection bias
Sampling error KHÔNG phải là bản thân trung bình mẫu
Sampling error KHÔNG phải một quan sát lẻ
Phân biệt: Sampling error (sai số lấy mẫu) là chênh lệch ngẫu nhiên và không tránh được giữa thống kê mẫu và tham số tổng thể — tăng cỡ mẫu thì nó nhỏ đi. Sampling bias (sai lệch lấy mẫu) là sai lệch có hệ thống do cách chọn mẫu sai — tăng cỡ mẫu không chữa được, phải sửa cách lấy mẫu. Survivorship bias làm lợi suất quá khứ trông đẹp hơn thực tế vì các quỹ đã đóng cửa bị loại khỏi mẫu. Look-ahead bias xảy ra khi dùng số liệu báo cáo tài chính ngay tại ngày kết thúc quý trong khi thực tế phải vài tuần sau mới công bố. Data-snooping tạo ra quan hệ có ý nghĩa thống kê hoàn toàn do may rủi.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q79: "To estimate the standard error of the sample mean using jackknife resampling, an analyst should remove how many of the observations from each sample?" → One (đúng một quan sát).
Ba chữ nhớ đời theo đúng vở của bạn: Jackknife = delete (bỏ đi, leave-one-out, không hoàn lại) — dùng ước lượng sai số chuẩn của trung bình mẫu. Bootstrap = borrow (lấy lại đủ n quan sát, có hoàn lại) — dùng ước lượng phân phối của thống kê. Permutation = shuffle (xáo trộn giữa các nhóm) — dùng để kiểm định giả thuyết.
Đáp án "None" là bẫy dành cho người nhầm jackknife với bootstrap.
9 · Hypothesis testing — chương ăn điểm nhiều nhất
Cách viết giả thuyết, chọn đuôi, chọn thống kê kiểm định, hai loại sai lầm, p-value và các bẫy đọc đề.
Mind map — Hypothesis testing
- KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
- Viết giả thuyết
- H₀ — null — trạng thái mặc định, luôn chứa dấu bằng
- Hₐ — alternative — điều muốn kiểm tra, nhìn cái này TRƯỚC
- Chọn đuôi
- > → right tail | < → left tail | ≠ → two tail — nhìn dấu trong Hₐ
- Chọn statistic
- Biết σ² → z, chưa biết → t — rule lớn nhất
- 1 phương sai → chi-square, 2 phương sai → F — nhớ theo số lượng
- 3+ trung bình → ANOVA → F — nhiều nhóm
- Hai loại sai lầm
- Type I = α = báo động giả — bác bỏ H₀ đúng
- Type II = β = bỏ sót — không bác bỏ H₀ sai
- Power = 1 − β — power luôn đi với beta, không đi với alpha
- Ra quyết định
- p-value < α → reject — p nhỏ thì nguy hiểm cho H₀
- |t| > critical → reject — t xa thì nguy hiểm cho H₀
Mục tiêu và cách viết hai giả thuyết
Mục tiêu: dùng mẫu để quyết định xem có đủ bằng chứng nói gì đó về tổng thể hay không. Ví dụ trong vở: một công ty nói "lợi suất trung bình của quỹ bằng 10%". Bạn lấy mẫu rồi hỏi: có đủ bằng chứng để tin nó KHÔNG phải 10% không?
Null hypothesis (H₀) — giả thuyết không, là trạng thái mặc định hoặc điều đang được cho là đúng; luôn chứa dấu bằng. Alternative hypothesis (H₁ hoặc Hₐ) — giả thuyết đối, là điều bạn muốn kiểm tra và muốn tìm bằng chứng ủng hộ. Ví dụ muốn kiểm tra lợi suất khác 10%: H₀: μ = 10%; Hₐ: μ ≠ 10%.
Trick CFA siêu quan trọng (nguyên văn trong vở)
Nhìn Alternative hypothesis TRƯỚC.
Hₐ có dấu > → Right tail. Hₐ có dấu < → Left tail. Hₐ có dấu ≠ → Two tail.
Đừng nhìn H₀ trước, dễ rối.
Ghi chú của bạn
Nguyên văn bạn viết bên lề: "H₀ = 0, H₁ khác 0".
Đây chính là dạng chuẩn của kiểm định hai đuôi (two-tailed test): H₀: θ = 0 và H₁ (Hₐ): θ ≠ 0.
Hai điều phải nhớ suốt cả môn: (1) Null hypothesis (H₀) — giả thuyết không, luôn luôn chứa dấu bằng, dù là "=", "≤" hay "≥"; dấu bằng không bao giờ nằm ở giả thuyết đối. (2) Alternative hypothesis (H₁ / Hₐ) — giả thuyết đối, là điều bạn muốn tìm bằng chứng ủng hộ, và nó quyết định số đuôi của kiểm định.
Ứng dụng ngay: kiểm định hệ số hồi quy có ý nghĩa hay không thì viết H₀: b₁ = 0 và Hₐ: b₁ ≠ 0 — hai đuôi, mức 5% dùng giá trị tới hạn 1.96 chứ không phải 1.645.
Bẫy đọc đề — cụm "test whether / determine whether / check if"
Thấy cụm "test whether", "determine whether", "check if" thì cái nằm phía sau chữ "whether" chính là H₁, không phải H₀.
Ví dụ Mock 1 — Q74: "constructs a hypothesis test to determine whether the abnormal returns are positive" → Hₐ: μ > 0 → kiểm định một đuôi bên phải, chứ không phải hai đuôi.
KEYWORD NHẬN DIỆN — One-tailed và Two-tailed test, cách viết H₀
"is different from" / "not equal to" / "has changed" → Two-tailed, Hₐ: μ ≠ μ₀"is greater than" / "exceeds" / "are positive" → One-tailed bên phải, Hₐ: μ > μ₀"is less than" / "below" / "are negative" → One-tailed bên trái, Hₐ: μ < μ₀"test whether / determine whether / check if" → cái đứng SAU chữ whether chính là Hₐ"the coefficient is significant" → Two-tailed, H₀: b₁ = 0
Dấu "=" KHÔNG bao giờ nằm trong Hₐ
Two-tailed 5% KHÔNG dùng 1.645
Phân biệt: H₀ (null hypothesis) luôn chứa dấu bằng — "=", "≤" hoặc "≥" — vì phải có một giá trị cụ thể mới tính được thống kê kiểm định. Hₐ (alternative hypothesis) chứa dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt và quyết định số đuôi: nhìn Hₐ TRƯỚC, đừng nhìn H₀. Cùng nói "5%" nhưng một đuôi dùng 1.645 còn hai đuôi dùng 1.96 (mỗi bên 2.5%) — đây là chỗ mất điểm nhiều nhất. Với kiểm định một đuôi, cả α nằm gọn về một phía; với hai đuôi, α bị chia đôi nên giá trị tới hạn xa hơn và khó bác bỏ H₀ hơn.
Năm bước làm bài
Bước 1: Viết H₀ và Hₐ. Bước 2: Chọn mức ý nghĩa α (thường 5%). Bước 3: Tính thống kê kiểm định — z-test hay t-test? Bước 4: Tìm giá trị tới hạn hoặc p-value. Bước 5: Bác bỏ hay không bác bỏ H₀.
Quy tắc bác bỏ theo từng loại đuôi
Two-tail: |test statistic| > critical value → reject H₀
Left-tail: statistic < critical value → reject H₀
Right-tail: statistic > critical value → reject H₀
Type I, Type II và Power
Chốt vàng — Power luôn đi với Beta, không đi với Alpha
Power of the test — năng lực của kiểm định = 1 − xác suất mắc sai lầm loại II = 1 − β. Đây là xác suất bác bỏ H₀ đúng lúc H₀ thật sự sai.
Xác suất mắc sai lầm loại I chính là α = significance level. Nếu đề nói mức ý nghĩa 5% thì α = 0.05 → xác suất mắc sai lầm loại I bằng đúng 5%.
Đề hay gài đáp án "1 − α" — sai. Power luôn gắn với β.
Đánh đổi: giảm α (khắt khe hơn) thì β tăng lên và power giảm xuống. Muốn tăng power mà không tăng α thì phải tăng cỡ mẫu.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Mức ý nghĩa α (significance level)
TĂNG ↑ α ↑ (từ 1% lên 5% lên 10%) → vùng bác bỏ rộng ra → dễ bác bỏ H₀ hơn → xác suất mắc Type I error ↑ (đúng bằng α) → power (1 − β) ↑.
GIẢM ↓ α ↑ → giá trị tới hạn (critical value) ↓ → xác suất mắc Type II error (β) ↓.
GIỮ NGUYÊN Với cỡ mẫu cố định, không thể giảm đồng thời cả α lẫn β — đây là đánh đổi (trade-off) bắt buộc. Muốn giảm cả hai thì chỉ còn một cách: tăng cỡ mẫu n.
Vì sao: α và β là hai đầu của cùng một cái cân. Siết chặt để tránh báo động giả thì tất yếu bỏ sót nhiều hơn.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Type I error, Type II error và Power
rejecting a TRUE null → Type I error = αfalse alarm / báo động giả → Type Isignificance level → chính là αfailing to reject a FALSE null → Type II error = βmissed detection / bỏ sót → Type IIprobability of correctly rejecting a false null → Power = 1 − βincrease the sample size để tăng power mà không tăng α
Power KHÔNG bao giờ bằng 1 − α
KHÔNG được nói "accept H₀"
Phân biệt: Type I error (sai lầm loại I) là bác bỏ H₀ trong khi H₀ thật ra đúng; xác suất của nó đúng bằng α do chính bạn chọn. Type II error (sai lầm loại II) là không bác bỏ H₀ trong khi H₀ thật ra sai; xác suất là β, không tự chọn được mà phụ thuộc vào cỡ mẫu và độ lớn thật của hiệu ứng. Power of the test (năng lực kiểm định) = 1 − β, là xác suất phát hiện đúng khi có chuyện thật. Đề rất hay gài đáp án "1 − α" — sai. Về từ ngữ, thống kê chỉ cho phép nói "fail to reject H₀", đáp án nào ghi "accept the null hypothesis" gần như chắc chắn sai.
P-value
Định nghĩa chuẩn — CFA hỏi y nguyên câu này
P-value — mức ý nghĩa nhỏ nhất mà tại đó H₀ có thể bị bác bỏ (the smallest significance level at which the null hypothesis can be rejected).
Nếu p-value < α → Reject H₀. Nếu p-value > α → Fail to reject H₀.
Mẹo phân biệt của bạn: p-value là xác suất → nhỏ mới nguy hiểm. t-statistic là khoảng cách → xa mới nguy hiểm. Nên: p nhỏ thì bác bỏ, t lớn thì bác bỏ.
Bẫy dùng chữ — "fail to reject" chứ không phải "accept"
Không bao giờ được nói "accept H₀". Thống kê chỉ cho phép nói fail to reject H₀ — chưa đủ bằng chứng để bác bỏ. Đáp án nào ghi "accept the null hypothesis" thì gần như chắc chắn sai.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Statistical significance và Economic significance
p-value < α, t-stat vượt critical value → Statistical significance"the smallest significance level at which H₀ can be rejected" → p-valuesau khi trừ chi phí giao dịch, thuế, rủi ro thì chiến lược có còn lời không → Economic significance"statistically significant but not economically meaningful" → cỡ mẫu rất lớn nhưng hiệu ứng bé xíu
Có ý nghĩa thống kê KHÔNG suy ra có giá trị đầu tư
p-value KHÔNG phải xác suất H₀ đúng
Phân biệt: Statistical significance (ý nghĩa thống kê) chỉ nói kết quả khó xảy ra do ngẫu nhiên; với cỡ mẫu cực lớn thì một chênh lệch rất nhỏ vẫn có thể có ý nghĩa thống kê. Economic significance (ý nghĩa kinh tế) hỏi tiếp: sau khi trừ chi phí giao dịch (transaction costs), thuế và rủi ro thì phần lợi nhuận đó có đáng để làm không. CFA rất hay ra đáp án "kết quả có ý nghĩa thống kê nên nhà đầu tư nên áp dụng chiến lược" — đây là câu SAI. Về p-value: nó là mức ý nghĩa nhỏ nhất mà tại đó H₀ bị bác bỏ, KHÔNG phải xác suất H₀ đúng và cũng không phải xác suất mắc sai lầm.
Chọn thống kê kiểm định — rule lớn nhất
Rule lớn: có biết phương sai tổng thể (σ²) hay không?
CÓ biết σ² → dùng Z (Known). KHÔNG biết σ² → dùng T (Unknown).
Nhưng còn phải xét tính chuẩn của tổng thể nữa.
Với tổng thể không chuẩn mà cỡ mẫu nhỏ hơn 30 thì không có kiểm định tham số nào dùng được — phải chuyển sang phương pháp phi tham số. Đây là ô đề rất hay hỏi.
Bậc thang theo số lượng trung bình
1 trung bình → one-sample t-test.
2 trung bình từ hai mẫu độc lập → independent samples t-test (dùng pooled variance nếu giả định hai phương sai bằng nhau).
2 quan sát theo cặp → lấy trung bình của các chênh lệch → paired t-test.
Từ 3 trung bình trở lên → ANOVA → F-test.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Khi nào dùng z-test, khi nào dùng t-test
population variance / standard deviation is KNOWN → z-testpopulation is normal + σ known → z-test dù n nhỏnonnormal + σ known + n ≥ 30 → z-testpopulation variance is UNKNOWN → t-test"sample standard deviation" xuất hiện trong đề → t-testn nhỏ + σ chưa biết + tổng thể chuẩn → t-test với df = n − 1nonnormal + n < 30 → không dùng được kiểm định tham số nào
n lớn KHÔNG tự động cho phép dùng z khi σ chưa biết
t-test KHÔNG dùng cho phương sai
Phân biệt: quyết định đầu tiên và quan trọng nhất là có biết phương sai tổng thể σ² hay không — biết thì z, không biết thì t. Điều kiện thứ hai là tính chuẩn: nếu tổng thể không chuẩn thì bắt buộc phải có n ≥ 30 để định lý giới hạn trung tâm hoạt động; tổng thể không chuẩn mà n < 30 thì không kiểm định tham số nào dùng được, phải chuyển sang phi tham số. Lưu ý CFA chấp nhận dùng z thay t khi n rất lớn vì hai phân phối gần trùng nhau, nhưng t luôn là lựa chọn thận trọng và đúng hơn khi σ chưa biết. Kiểm định về phương sai thì không dùng z hay t: một phương sai → chi-square, hai phương sai → F.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Bậc tự do (degrees of freedom) và phân phối t
TĂNG ↑ Bậc tự do df ↑ (do cỡ mẫu tăng) → phân phối Student's t tiến gần phân phối chuẩn z; phần diện tích ở giữa ↑.
GIẢM ↓ df ↑ → đuôi mỏng dần; giá trị tới hạn t giảm dần và hội tụ về giá trị z tương ứng (ví dụ mức 5% hai đuôi hội tụ về 1.96).
GIỮ NGUYÊN Với mọi df hữu hạn, t luôn có đuôi dày hơn z, nên giá trị tới hạn t luôn lớn hơn z tương ứng và khoảng tin cậy dùng t luôn rộng hơn.
Vì sao: t phải "trả giá" cho việc ước lượng thêm độ lệch chuẩn từ mẫu; mẫu càng lớn thì ước lượng đó càng chắc nên phần bù thận trọng càng nhỏ.
CHỐT TĂNG/GIẢM — Mức tin cậy (confidence level) và độ rộng khoảng tin cậy
TĂNG ↑ Mức tin cậy ↑ (90% → 95% → 99%) → giá trị tới hạn ↑ (1.645 → 1.96 → 2.58) → khoảng tin cậy RỘNG hơn. Độ lệch chuẩn σ ↑ cũng làm khoảng tin cậy rộng ra.
GIẢM ↓ Mức tin cậy ↑ ⇔ α ↓ → khó bác bỏ H₀ hơn; độ chính xác (precision) của ước lượng ↓ vì khoảng quá rộng thì ít thông tin.
GIỮ NGUYÊN Tâm của khoảng tin cậy vẫn luôn là trung bình mẫu X̄ — chỉ có bề rộng thay đổi.
Vì sao: muốn chắc chắn hơn thì phải chấp nhận nói mơ hồ hơn. Cách duy nhất vừa tăng mức tin cậy vừa giữ khoảng hẹp là tăng cỡ mẫu.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Parametric test và Non-parametric test
giả định tổng thể có phân phối cụ thể (chuẩn) → Parametrickiểm định về μ, σ², ρ → Parametricz-test, t-test, chi-square, F, ANOVA → Parametric"the distribution is unknown" / "cannot assume normality" → Nonparametricdữ liệu là thứ hạng (ranked data) hoặc thang thứ tự (ordinal) → NonparametricSpearman rank correlation, sign test, runs test → Nonparametricnonnormal + n < 30 → Nonparametric
Nonparametric KHÔNG có nghĩa là không có tham số
Nonparametric KHÔNG mạnh hơn khi giả định chuẩn đã thỏa
Phân biệt: Parametric test (kiểm định tham số) giả định trước dạng phân phối của tổng thể và kiểm định về tham số của nó; mạnh hơn (power cao hơn) khi giả định đúng. Non-parametric test (kiểm định phi tham số) ít giả định hơn, dùng khi giả định phân phối bị vi phạm, khi dữ liệu chỉ là thứ hạng, hoặc khi câu hỏi không phải về một tham số cụ thể; đổi lại power thấp hơn nếu giả định chuẩn thật ra đúng. Ba tình huống bắt buộc dùng phi tham số: dữ liệu thứ hạng; tổng thể không chuẩn và mẫu nhỏ; giả thuyết không nói về tham số nào cả (ví dụ kiểm định tính ngẫu nhiên bằng runs test).
So sánh hai trung bình — chỗ dễ sai nhất
Ví dụ dẫn nhập trong vở: Quỹ A có lợi suất trung bình 10%, Quỹ B có 8%. Hỏi khác biệt 2% này là thật hay chỉ do ngẫu nhiên? Ta luôn giả sử "không có khác biệt" trước rồi mới đi tìm bằng chứng bác bỏ nó: dưới H₀ thì μ₁ − μ₂ = 0.
Phân biệt: Mean of differences (paired) vs Difference of means (independent)
Mean of differences — paired t-test (kiểm định theo cặp): so từng cặp trước rồi mới lấy trung bình. Dùng khi hai bộ dữ liệu gắn với nhau theo từng thời điểm hoặc từng đối tượng. Ví dụ: giá cổ phiếu A và B cùng từng ngày; lương trước và sau đào tạo của cùng một người; các bài test trước / sau. Thống kê tính từ trung bình của chênh lệch và độ lệch chuẩn của các chênh lệch.
Difference of means — independent t-test (kiểm định hai mẫu độc lập): tính trung bình riêng từng nhóm rồi mới trừ nhau. Dùng khi hai mẫu không có mối liên hệ từng cặp. Ví dụ: nhóm nam so với nhóm nữ; hai công ty không khớp theo ngày; hai mẫu hoàn toàn riêng biệt. Nếu giả định hai phương sai bằng nhau thì dùng pooled variance.
Mock 1 — Q86: bẫy kinh điển bạn cần nhớ đời
Đề: kiểm định lợi suất trung bình hàng tháng của hai công ty dầu khí lớn trong 60 tháng gần nhất, giả định lợi suất xấp xỉ chuẩn và phương sai bằng nhau.
CFA hay viết "2 stocks over 60 months" làm mình tưởng là hai mẫu độc lập ❌. Nhưng vì cùng chung tháng 1 đến tháng 60, dữ liệu thực chất là paired.
→ Đáp án đúng: trung bình của các chênh lệch từng cặp + độ lệch chuẩn của các chênh lệch (average of the differences + standard deviation of the differences).
Ba đáp án dịch ra cho dễ nhớ: (A) chênh lệch trung bình + phương sai gộp; (B) ✅ trung bình của chênh lệch từng cặp + độ lệch chuẩn của sai khác; (C) chênh lệch trung bình + phương sai riêng lẻ.
Câu thần chú: "Mean of differences = so từng cặp rồi mới tính trung bình. Difference of means = tính trung bình riêng rồi mới so."
Chi-square và F
Bẫy tra bảng chi-square
Phân phối chi-square không đối xứng và chỉ nhận giá trị dương, nên hai giá trị tới hạn của kiểm định hai đuôi không đối xứng qua 0 như z hay t. Đuôi trái tra ở cột xác suất LỚN (0.95, 0.975), đuôi phải tra ở cột xác suất NHỎ (0.05, 0.025). Rất dễ tra ngược.
Chi-square test of independence — kiểm định tính độc lập, dùng cho bảng chéo (contingency table) đếm tần suất theo hai tiêu chí phân loại. Bậc tự do = (số hàng − 1) × (số cột − 1). Đây là dạng Mock 3, Section 1, Câu 78 mà bạn đã đánh dấu xem lại.
Degrees of freedom — hai câu bạn ghi "nhớ xem lại"
One-sample t-test (một trung bình): df = n − 1.
Paired t-test (theo cặp): df = n − 1, với n là số cặp chứ không phải tổng số quan sát.
Independent t-test có pooled variance: df = n₁ + n₂ − 2.
Chi-square, một phương sai: df = n − 1.
Chi-square test of independence: df = (r − 1)(c − 1).
F-test hai phương sai: df = n₁ − 1 (tử số) và n₂ − 1 (mẫu số); luôn đặt phương sai lớn hơn lên tử số.
Simple linear regression: SSR có df = 1; SSE có df = n − 2; SST có df = n − 1.
Mock 1 — Q74: làm lại bằng tay
n = 60 tháng; trung bình lợi suất bất thường = 1.1%; độ lệch chuẩn = 4.75%. Hỏi bác bỏ H₀ ở mức nào?
Hₐ: μ > 0 → một đuôi bên phải (vì đề nói "determine whether the abnormal returns are positive").
t = 1.1 / (4.75 / √60) = 1.1 / (4.75 / 7.746) = 1.1 / 0.6132 = 1.79
Giá trị tới hạn một đuôi với df = 59: ở mức 5% là ≈ 1.671; ở mức 2.5% là ≈ 2.001.
1.79 > 1.671 nhưng 1.79 < 2.001 → bác bỏ ở mức 5% nhưng KHÔNG bác bỏ ở mức 2.5%.
Bạn đã chọn "không bác bỏ ở cả hai mức" — sai vì tính nhầm sang hai đuôi. Nhớ: đề cho MEAN thì dùng công thức t = (X̄ − μ₀) / (s / √n).
Mock 1 — Q40: kiểm định ý nghĩa của hệ số tương quan
n = 150 quan sát, r = 0.1452. Giá trị tới hạn ±1.65 ở mức 10% và ±1.96 ở mức 5%.
t = r√(n − 2) / √(1 − r²) = 0.1452 × √148 / √(1 − 0.02108) = 0.1452 × 12.166 / 0.9894 = 1.785
1.785 > 1.65 nhưng < 1.96 → bác bỏ H₀ ở mức 10% nhưng không bác bỏ ở mức 5%.
Lưu ý: H₀ là "không có tương quan" (ρ = 0) và Hₐ là ρ ≠ 0 → hai đuôi, nên giá trị tới hạn đề cho đã ở dạng ± sẵn. Bậc tự do là n − 2, không phải n − 1.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q74: 60 tháng dữ liệu, lợi suất bất thường trung bình 1.1%, độ lệch chuẩn 4.75%. Bạn chọn "không bác bỏ ở cả hai mức" — SAI. Đáp án đúng: bác bỏ ở mức 5% nhưng KHÔNG bác bỏ ở mức 2.5%.
Chỗ bạn sai: đề nói "determine whether the abnormal returns are positive" → Hₐ: μ > 0 → kiểm định một đuôi bên phải. Bạn tính nhầm sang hai đuôi nên giá trị tới hạn bị đội lên và kết luận ngược.
t = 1.1 / (4.75/√60) = 1.1 / 0.6132 = 1.79; tới hạn một đuôi df = 59: mức 5% ≈ 1.671, mức 2.5% ≈ 2.001 → 1.671 < 1.79 < 2.001.
Quy tắc chống sai lặp lại: đọc Hₐ trước để biết mấy đuôi, rồi mới tra bảng. Đề cho MEAN và độ lệch chuẩn mẫu thì dùng t = (X̄ − μ₀)/(s/√n).
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q40: kiểm định ý nghĩa của hệ số tương quan, n = 150, r = 0.1452, tới hạn ±1.65 (10%) và ±1.96 (5%). Đáp án: bác bỏ H₀ ở mức 10% nhưng không bác bỏ ở mức 5%.
t = r√(n − 2) / √(1 − r²) = 0.1452 × 12.166 / 0.9894 = 1.785 → nằm lọt giữa 1.65 và 1.96.
Ba chỗ dễ sai: (1) bậc tự do là n − 2, không phải n − 1, vì đã ước lượng hai tham số. (2) H₀: ρ = 0 và Hₐ: ρ ≠ 0 → hai đuôi, nên giá trị tới hạn đề cho đã ở dạng ± sẵn. (3) r nhỏ (0.1452) không có nghĩa là chắc chắn không có ý nghĩa — với n = 150 thì cỡ mẫu lớn vẫn có thể đẩy t vượt ngưỡng. Đây đúng là ví dụ có ý nghĩa thống kê nhưng gần như không có ý nghĩa kinh tế.
10 · Simple Linear Regression & ANOVA
Hồi quy tuyến tính đơn: ý nghĩa hệ số, cách bấm máy, bảng ANOVA và toàn bộ từ vựng CFA-style hay bị hỏi.
Hồi quy chỉ trả lời đúng một câu: "Nếu X thay đổi thì Y thay đổi bao nhiêu?" Ví dụ X là số giờ học, Y là điểm CFA mock test. Hồi quy cố tìm một đường thẳng đi xuyên qua đám điểm dữ liệu.
Ví dụ giờ học và điểm
Dữ liệu: (1, 50), (2, 55), (3, 58), (4, 65), (5, 70) → đường hồi quy Y = 45 + 5X.
Diễn giải: học thêm 1 giờ thì điểm tăng khoảng 5 điểm. Hệ số chặn 45 là điểm dự báo nếu không học giờ nào.
Công thức lõi
Ŷ = b₀ + b₁X
b₁ = Cov(X,Y) / Var(X) = r × (sY / sX)
b₀ = Ȳ − b₁X̄
ei = Yi − Ŷi (residual — phần dư)
SST = SSR + SSE ; R² = SSR / SST ; MSR = SSR / 1 ; MSE = SSE / (n − 2)
SEE = √MSE ; F = MSR / MSE ; tb1 = b₁ / SE(b₁)
Bẫy Mock 1 — Q51: "regression of Y to X" — mẫu số là gì?
"Regression of Y to X" (hoặc "of Y on X") nghĩa là: Y là biến phụ thuộc và X là biến độc lập.
→ Mẫu số của độ dốc bắt buộc là phương sai của biến độc lập X, KHÔNG được dùng phương sai của Y.
Nhắc thêm: nếu đề hỏi coefficient thì chia cho Var(X); nếu đề hỏi correlation thì chia cho tích hai độ lệch chuẩn σXσY. Đọc kỹ đề hỏi cái nào.
Bấm máy dạng hồi quy trên BA II Plus
Quy trình bấm máy (đúng như bạn ghi)
2nd DATA (phím 7) → 2nd CLR WORK để xóa dữ liệu cũ.
Nhập lần lượt từng cặp x, y (ví dụ 8 cặp).
2nd STAT (phím 8) → SET chọn chế độ LIN.
Cuộn ↓ để đọc: n = 8; X̄ = 7.5; độ lệch chuẩn X = 1.9365; độ lệch chuẩn Y = 2.9896; a = intercept = 16.5; b = slope = −1.3; r = −0.8421.
Đọc kết quả:
a = intercept = 16.5 → nếu RDR bằng 0% thì biên lợi nhuận ròng dự báo khoảng 16.5%.
b = slope = −1.3 → nếu RDR tăng 1% thì biên lợi nhuận ròng dự kiến giảm khoảng 1.3%.
r = −0.8421 → quan hệ ngược chiều (negative) và mạnh (strong), vì trị tuyệt đối 0.8421 khá gần 1.
Phân biệt: Slope (b₁) vs Correlation (r)
Hai cái luôn
cùng dấu vì b₁ = r × (s
Y/s
X), nhưng độ lớn hoàn toàn khác nhau. Đừng bao giờ đọc slope như là mức độ mạnh yếu.
Ba nhóm thước đo — mock 1, S1, C53 (quan trọng thi)
Câu thần chú bảng ANOVA (nguyên văn trong vở)
SST là tổng. SSR là phần giải thích được. SSE là phần sai số. R² = SSR/SST. MSE = SSE chia df. SEE = căn MSE. F = MSR/MSE. p nhỏ thì reject.
Và: R² càng lớn thì mô hình càng khớp với dữ liệu.
Từ vựng regression CFA-style — bảng đầy đủ
Mock 1 — Q50: ba đáp án ba khái niệm hoàn toàn khác nhau
Hỏi: hệ số xác định (coefficient of determination) trong hồi quy tuyến tính đơn được hiểu chính xác nhất là gì?
(A) "the standard deviation of the regression residuals" → đó là SEE, không phải R².
(B) "a statistic that can be used to test the significance of the slope coefficient" → đó là t-statistic (và trong hồi quy đơn thì F-statistic cũng kiểm định được độ dốc).
(C) ✅ "the percentage of variation in the dependent variable that is explained by variation in the independent variable" → đúng là định nghĩa của R².
Phân biệt: R² vs SEE vs t-stat vs F-stat
R² — tỷ lệ phần trăm biến động của biến phụ thuộc được giải thích; càng gần 1 càng tốt; trong hồi quy đơn thì R² = r².
SEE — độ lệch chuẩn của phần dư, đo sai số dự báo trung bình theo đơn vị của Y; càng nhỏ càng tốt.
t-statistic — kiểm định từng hệ số một có khác 0 hay không.
F-statistic — kiểm định toàn bộ mô hình; trong hồi quy tuyến tính đơn thì F = t² và hai kiểm định luôn cho cùng một kết luận.
Bảng tổng hợp các tham số thống kê và từ khóa CFA
CHỐT TĂNG/GIẢM — R², Adjusted R² và SEE trong hồi quy
TĂNG ↑ Thêm một biến độc lập bất kỳ → R² LUÔN tăng (hoặc ít nhất không giảm), kể cả khi biến đó hoàn toàn vô nghĩa. Vì vậy so sánh các mô hình có số biến khác nhau thì bắt buộc dùng adjusted R². R² ↑ → mô hình giải thích được nhiều biến động của Y hơn.
GIẢM ↓ SEE (standard error of estimate) ↓ → phần dư nhỏ → mô hình khớp dữ liệu tốt hơn. SSE ↓ thì SEE ↓ và R² ↑ (vì R² = 1 − SSE/SST = SSR/SST). Adjusted R² có thể GIẢM khi thêm biến vô dụng — đó chính là điểm khác biệt then chốt so với R².
GIỮ NGUYÊN SST (tổng biến động của Y) không đổi khi thêm biến, vì nó chỉ phụ thuộc vào bản thân dữ liệu Y. Trong hồi quy đơn, R² = r² luôn đúng.
Vì sao: SST = SSR + SSE. Thêm biến chỉ có thể chuyển bớt phần từ SSE sang SSR chứ không bao giờ làm ngược lại, nên R² chỉ có thể đi lên. Adjusted R² phạt theo số biến nên trung thực hơn.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Từ vựng hồi quy: biến, hệ số và ba tổng bình phương
the variable being explained or predicted → Dependent variable Y (endogenous)the variable used to explain → Independent variable X (exogenous)"regression of Y ON X" → Y phụ thuộc, X độc lậppredicted value of Y when X = 0 → Intercept b₀expected change in Y for a one-unit change in X → Slope b₁total variation in Y → SSTvariation EXPLAINED by the regression → SSR (RSS)variation NOT explained, tổng bình phương phần dư → SSE% of variation in Y explained by X → R² = SSR/SSTstandard deviation of the residuals → SEE = √MSE
Mẫu số của b₁ KHÔNG phải Var(Y)
SEE KHÔNG phải R²
Phân biệt: b₁ = Cov(X,Y) / Var(X) — mẫu số luôn là phương sai của biến độc lập X, tuyệt đối không dùng Var(Y); đây đúng là bẫy Q51 bạn đã gặp. Slope b₁ có đơn vị và cho biết X tăng 1 đơn vị thì Y đổi bao nhiêu; correlation r không có đơn vị và chỉ cho biết độ mạnh với chiều. Intercept b₀ là giá trị dự báo của Y khi X = 0. Ba tổng bình phương: SST là tổng, SSR (regression sum of squares, có tài liệu ghi RSS) là phần giải thích được, SSE là phần sai số; SST = SSR + SSE. Từ đó: MSR = SSR/1, MSE = SSE/(n − 2), SEE = √MSE, F = MSR/MSE. Kiểm định từng hệ số dùng t-statistic; kiểm định toàn bộ mô hình dùng F-statistic; trong hồi quy đơn thì F = t².
11 · Big Data & Fintech
Ba chữ V của dữ liệu lớn nhận diện qua từ khóa, và phân biệt mô hình tham số với phi tham số cùng hiện tượng học vẹt dữ liệu.
Chữ V thứ tư đôi khi được nhắc là Veracity — độ tin cậy và chất lượng của dữ liệu.
Phân biệt: Parametric vs Nonparametric model
Parametric — mô hình tham số giả định dữ liệu hoặc mối quan hệ có một dạng cụ thể rồi đi ước lượng một số tham số, ví dụ hồi quy tuyến tính.
Nonparametric —
không có nghĩa là "không có tham số". Nó có nghĩa là không bắt buộc phải giả định trước một dạng phân phối hoặc một dạng quan hệ cố định quá chặt; mô hình để chính dữ liệu tự bộc lộ quy luật. Ví dụ: cây quyết định (decision tree), rừng ngẫu nhiên (random forest), k láng giềng gần nhất (k-nearest neighbours) và nhiều thuật toán học máy khác.
Ví dụ thực tế phân biệt hai loại mô hình
Giả sử dự báo khả năng vỡ nợ dựa trên thu nhập, dư nợ, tuổi và lịch sử tín dụng.
Linear regression có thể giả định ảnh hưởng của thu nhập lên khả năng vỡ nợ là tuyến tính.
Decision tree không cần giả định đường thẳng nào cả. Nó tự học ra quy tắc kiểu: tỷ lệ nợ > 60% và thu nhập < £30,000 thì rủi ro vỡ nợ cao.
Fintech — hai ý bị hỏi thẳng
1. Overfitting — hiện tượng học quá khớp: một mạng nơ-ron học bộ dữ liệu quá chính xác thì đó là dấu hiệu của overfitting. Mô hình đã học quá kỹ dữ liệu huấn luyện, kể cả nhiễu và các mẫu ngẫu nhiên, nên nhớ dữ liệu cũ rất giỏi nhưng dự báo dữ liệu mới rất tệ.
2. Nhiều phương pháp học máy vừa mang tính tham số vừa mang tính phi tham số, nghĩa là không cần giả định trước dữ liệu phải theo một phân phối cụ thể như phân phối chuẩn.
Phân biệt: Overfitting vs Underfitting
Overfitting — mô hình quá phức tạp, bám sát cả nhiễu trong dữ liệu huấn luyện; sai số huấn luyện rất thấp nhưng sai số trên dữ liệu mới rất cao.
Underfitting — mô hình quá đơn giản, không nắm bắt được cả quy luật thật; sai số cao ở cả dữ liệu huấn luyện lẫn dữ liệu mới. Mô hình tham số bị giả định sai thường rơi vào trường hợp này.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Cấu trúc dữ liệu và chiều dữ liệu
rows and columns, database, spreadsheet, số liệu tài chính đã sắp xếp → Structured datatext, email, tweet, image, audio, video, PDF, satellite → Unstructured datamột đơn vị quan sát qua NHIỀU thời điểm → Time-series dataNHIỀU đơn vị tại MỘT thời điểm → Cross-sectional datanhiều đơn vị VÀ nhiều thời điểm cùng lúc → Panel data
Unstructured KHÔNG phải là dữ liệu sai
Panel data KHÔNG phải chỉ là time-series
Phân biệt: Structured data (dữ liệu có cấu trúc) đã được tổ chức sẵn theo hàng và cột nên máy đọc được ngay — báo cáo tài chính, giá đóng cửa, chỉ số kinh tế. Unstructured data (dữ liệu phi cấu trúc) không có định dạng sẵn, phải xử lý bằng kỹ thuật như xử lý ngôn ngữ tự nhiên trước khi phân tích — bản ghi họp báo, tin tức, mạng xã hội, ảnh vệ tinh bãi đỗ xe. Time-series theo dõi một đối tượng qua thời gian (giá FPT trong 60 tháng); Cross-sectional chụp nhiều đối tượng tại một thời điểm (ROE của 500 công ty quý này); Panel data (dữ liệu bảng) ghép cả hai chiều nên là bảng hai chiều đầy đủ.
KEYWORD NHẬN DIỆN — Supervised, Unsupervised learning và Overfitting
có nhãn / target đã biết trước, "labeled data" → Supervised learningdự báo một biến kết quả cụ thể → Supervised (regression, classification)không có nhãn, để máy tự tìm cấu trúc → Unsupervised learningclustering, dimension reduction, nhóm cổ phiếu tương tự nhau → Unsupervised"learns the training data too precisely" → Overfittingkhớp cực tốt trên training nhưng dự báo tệ trên dữ liệu mới → Overfittingmô hình quá đơn giản, sai số cao ở cả hai bộ dữ liệu → Underfittingchia dữ liệu ra để kiểm chứng → Cross-validation, holdout sample
Unsupervised KHÔNG có biến mục tiêu
Overfitting KHÔNG phải là mô hình tốt
Phân biệt: Supervised learning (học có giám sát) huấn luyện trên dữ liệu đã có nhãn, tức đã biết đáp án đúng, để dự báo một biến mục tiêu — ví dụ dự báo khả năng vỡ nợ. Unsupervised learning (học không giám sát) không có nhãn, máy tự tìm cấu trúc ẩn — ví dụ gom nhóm cổ phiếu có hành vi giống nhau (clustering) hoặc giảm số chiều dữ liệu. Overfitting (học quá khớp) là mô hình nhớ cả nhiễu trong dữ liệu huấn luyện nên mất khả năng tổng quát hóa; dấu hiệu nhận biết trong đề CFA chính là cụm "learns the dataset too precisely" hoặc "excellent in-sample but poor out-of-sample performance". Cách chống: dùng holdout sample và cross-validation, hoặc giảm độ phức tạp của mô hình.
12 · Mock Test 1 — các câu còn lại, làm lại bằng tay
Những câu trong phần review mock chưa nằm gọn vào chủ đề nào ở trên, gom lại đây để luyện lần cuối.
Q36 — thống kê mô tả, tìm phát biểu KÉM chính xác nhất
Mẫu giá quần jeans: $28, $36, $32, $30, $34, $32. Sắp xếp lại: 28, 30, 32, 32, 34, 36. Trung bình = 192 / 6 = 32.
(A) "The range equals $8" → 36 − 28 = 8 ✅ đúng.
(B) "The median equals $31" → trung vị là trung bình của hai giá trị giữa = (32 + 32)/2 = 32, không phải 31 ❌ → đây là đáp án (câu kém chính xác nhất).
(C) "The mean absolute deviation equals 2" → tổng khoảng cách tuyệt đối tới trung bình = 4 + 4 + 0 + 2 + 2 + 0 = 12, chia cho n = 6 được MAD = 2 ✅ đúng.
Nhắc lại định nghĩa: MAD là tổng của các khoảng cách tuyệt đối so với trung bình, rồi chia cho n — đừng dừng ở con số tổng 12.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q36: mẫu giá quần jeans $28, $36, $32, $30, $34, $32; tìm phát biểu kém chính xác nhất. Đáp án: "The median equals $31".
Chỗ dễ sai nhất là median với n chẵn: sắp xếp lại thành 28, 30, 32, 32, 34, 36 rồi lấy trung bình của hai giá trị giữa = (32 + 32)/2 = 32, không phải 31. Nhiều người lấy đại một giá trị giữa hoặc lấy (30 + 32)/2.
Chỗ sai thứ hai là MAD: tổng khoảng cách tuyệt đối tới trung bình 32 là 4 + 4 + 0 + 2 + 2 + 0 = 12, nhưng MAD = 12 / n = 12 / 6 = 2 — đừng dừng ở con số tổng 12 rồi kết luận phát biểu sai.
Bẫy chữ "least accurate"
Đề hỏi "which statement is least accurate" nghĩa là tìm câu SAI. Rất nhiều người tính đúng hết mà khoanh nhầm vì đọc thành "most accurate". Gạch chân chữ least ngay khi đọc đề.
Q46 — thuế hiệu dụng trên cổ tức
Nhà đầu tư nhận $500 cổ tức tiền mặt, thuế suất cá nhân 24%. Nếu doanh nghiệp cũng bị đánh thuế trên lợi nhuận thì thuế suất hiệu dụng trên cổ tức là:
→ Lớn hơn 24%, vì cổ tức được trả ra từ lợi nhuận đã bị đánh thuế ở cấp doanh nghiệp (double taxation — đánh thuế hai lần).
Đáp án "bằng 24%" bỏ qua tầng thuế doanh nghiệp. Đáp án "nhỏ hơn 24%" sai vì cổ tức chi trả KHÔNG được khấu trừ như chi phí — chỉ có lãi vay mới được khấu trừ.
Q68 — tỷ giá kỳ hạn không có cơ hội arbitrage
Tỷ giá giao ngay 1.34 USD/CHF; lãi suất 1 năm ở Mỹ 3%, ở Thụy Sĩ 5%. Tìm tỷ giá kỳ hạn 1 năm USD/CHF.
Với ký hiệu USD/CHF: CHF là đồng yết giá cơ sở (base), USD là đồng định giá (price) — đồng đứng sau dấu gạch là base.
F = S × (1 + rprice) / (1 + rbase) = 1.34 × (1.03 / 1.05) = 1.34 × 0.98095 = 1.315 USD/CHF.
Logic kiểm tra nhanh: đồng có lãi suất cao hơn (CHF, 5%) phải giảm giá ở thị trường kỳ hạn, nên tỷ giá phải nhỏ hơn 1.34 → loại ngay đáp án 1.366. Đáp án 0.761 là bị lật ngược cặp tiền.
Q69 — nhắc lại thứ tự ba đại lượng theo độ lệch
"If the skewness of a distribution is positive…" → mode < median < mean.
Với phân phối lệch trái thì ngược lại hoàn toàn: mode > median > mean.
Cách nhớ: đuôi dài nằm ở đâu thì mean bị kéo về phía đó xa nhất, vì mean là đại lượng nhạy nhất với giá trị ngoại lai; mode luôn đứng ở chỗ đỉnh cao nhất nên nằm phía ngược lại.
Q42 — lợi suất gộp liên tục so với lợi suất nắm giữ
"A stock increased in value last year. Which will be greater, its continuously compounded or its holding period return?"
→ Holding period return, vì rcontinuous = ln(1 + HPR) và với mọi số dương thì ln(1 + x) < x. Ví dụ HPR = 20% thì log return = ln(1.2) = 18.2%.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q46: nhà đầu tư nhận $500 cổ tức, thuế cá nhân 24%, doanh nghiệp cũng bị đánh thuế trên lợi nhuận. Thuế suất hiệu dụng trên cổ tức là lớn hơn 24%.
Vì sao: đây là hiện tượng double taxation (đánh thuế hai lần) — lợi nhuận đã bị đánh thuế một lần ở cấp doanh nghiệp, phần còn lại chia làm cổ tức rồi lại bị đánh thuế lần nữa ở cấp cá nhân.
Hai đáp án sai: "bằng 24%" là quên hẳn tầng thuế doanh nghiệp. "Nhỏ hơn 24% vì doanh nghiệp được khấu trừ cổ tức như chi phí" là sai kiến thức — cổ tức chi trả KHÔNG được khấu trừ thuế, chỉ có lãi vay (interest expense) mới được khấu trừ. Đây chính là lý do nợ vay có "tấm chắn thuế" còn vốn chủ sở hữu thì không.
Bẫy — bạn từng sai câu này
Mock 1 — Q68: giao ngay 1.34 USD/CHF, lãi suất 1 năm ở Mỹ 3% và ở Thụy Sĩ 5%. Tỷ giá kỳ hạn 1 năm ≈ 1.315 USD/CHF.
Bẫy đọc ký hiệu: với cặp USD/CHF thì CHF là đồng cơ sở (base currency) — đồng đứng sau dấu gạch — còn USD là đồng định giá (price currency). Đọc ngược là ra 0.761, tức đáp án bẫy.
F = S × (1 + rprice) / (1 + rbase) = 1.34 × 1.03/1.05 = 1.315.
Cách kiểm tra nhanh không cần bấm máy: đồng có lãi suất cao hơn (CHF, 5%) phải mất giá ở thị trường kỳ hạn, nên tỷ giá kỳ hạn phải nhỏ hơn 1.34 → loại ngay 1.366.
13 · Keyword → chọn gì
Gõ: 'test whether', 'smallest significance level', 'order does not matter', 'with replacement', 'target return', 'population variance unknown', 'least accurate'…
14 · Bài tập ghi nhớ
Mười bốn câu ngắn, mục đích duy nhất là ép bạn nhớ lại định nghĩa và phân biệt — không có câu tính toán nặng.
Câu 1.
Một cổ phiếu tăng giá trong năm vừa rồi. Giữa lợi suất nắm giữ (holding period return) và lợi suất gộp liên tục (continuously compounded return), cái nào lớn hơn?
- Lợi suất gộp liên tục.
- Lợi suất nắm giữ.
- Hai cái bằng nhau.
Đáp án
B. Vì rcontinuous = ln(1 + HPR) và ln(1 + x) luôn nhỏ hơn x với x dương. Ví dụ HPR = 20% thì log return chỉ 18.2%. A sai vì logarit luôn "nén" con số lại. C chỉ đúng khi lợi suất bằng đúng 0%.
Câu 2.
Power của một kiểm định giả thuyết bằng:
- 1 − α.
- 1 − β.
- α + β.
Đáp án
B. Power = 1 − xác suất mắc sai lầm loại II = 1 − β, tức xác suất bác bỏ H₀ đúng lúc H₀ thật sự sai. Nhớ câu chốt: power luôn đi với beta, không đi với alpha. A là bẫy phổ biến nhất; C vô nghĩa vì α và β thuộc hai tình huống khác nhau.
Câu 3.
Phương pháp lấy mẫu lại nào yêu cầu bỏ ra đúng một quan sát trong mỗi lần lặp?
- Bootstrap.
- Jackknife.
- Permutation.
Đáp án
B. Jackknife = delete, bỏ đi một quan sát mỗi lần, không hoàn lại, dùng để ước lượng sai số chuẩn của trung bình mẫu. Bootstrap = borrow, lấy lại đủ n quan sát có hoàn lại. Permutation = shuffle, xáo trộn dữ liệu giữa các nhóm để kiểm định giả thuyết.
Câu 4.
Nhà đầu tư mua $1,000 cổ phiếu mỗi tháng bất kể giá. Muốn tính giá vốn bình quân thì dùng loại trung bình nào?
- Arithmetic mean.
- Geometric mean.
- Harmonic mean.
Đáp án
C. Cùng số tiền mỗi lần thì dùng harmonic mean. Nếu mua $1,000 ở giá 10 và $1,000 ở giá 20 thì tổng 150 cổ, giá vốn = 2,000/150 = 13.33 chứ không phải 15. A chỉ đúng khi mua cùng số cổ phiếu mỗi lần. B dùng cho lợi suất gộp qua nhiều kỳ.
Câu 5.
Với một phân phối lệch phải (positively skewed), thứ tự đúng là:
- mean < median < mode.
- mode < median < mean.
- median < mode < mean.
Đáp án
B. Đuôi dài nằm bên phải kéo mean ra xa nhất, mode luôn ở đỉnh cao nhất nên nằm trái nhất, median kẹp giữa. A chính là trường hợp lệch trái (negatively skewed). C không bao giờ xảy ra.
Câu 6.
Hệ số tương quan giữa hai biến bằng 0. Kết luận nào đúng?
- Hai biến chắc chắn độc lập với nhau.
- Hai biến không có bất kỳ quan hệ nào.
- Hai biến không có quan hệ tuyến tính đáng kể.
Đáp án
C. Tương quan bằng 0 chỉ loại trừ quan hệ tuyến tính. Ví dụ tốc độ lái xe và mức tiêu hao xăng có quan hệ hình chữ U rất rõ nhưng tương quan tuyến tính có thể gần 0. A sai vì độc lập là điều kiện mạnh hơn — chiều ngược lại mới đúng: độc lập thì suy ra tương quan bằng 0. B sai vì quan hệ phi tuyến vẫn tồn tại.
Câu 7.
Một khoản vay trả góp với khoản trả cố định hàng năm. Theo thời gian, phần lãi và phần gốc trong mỗi kỳ trả sẽ:
- Lãi giảm dần, gốc tăng dần.
- Lãi tăng dần, gốc giảm dần.
- Cả hai đều không đổi.
Đáp án
A. Dư nợ giảm dần nên tiền lãi tính trên dư nợ cũng giảm; khoản trả cố định nên phần còn lại dành trả gốc tăng lên. Trong ví dụ vay $15,000 lãi 11%: lãi kỳ 1 là 1,650 rồi kỳ 2 chỉ còn 1,481. C sai vì chỉ có tổng khoản trả là không đổi.
Câu 8.
Shortfall risk được đo so với cái gì?
- Một mức lợi suất mục tiêu do nhà đầu tư đặt ra.
- Lợi suất của chỉ số tham chiếu.
- Lãi suất phi rủi ro.
Đáp án
A. Shortfall risk là xác suất lợi suất thấp hơn một target return cố định — đây là hiệu quả tuyệt đối. B là tracking error / active risk, đo hiệu quả tương đối so với benchmark. C là mẫu của Sharpe ratio. Thấy chữ "benchmark", "index", "S&P 500" trong đáp án thì loại ngay.
Câu 9.
Một nhà phân tích so sánh lợi suất hàng tháng của hai cổ phiếu trong cùng 60 tháng. Kiểm định phù hợp nhất là:
- t-test hai mẫu độc lập với pooled variance.
- Paired t-test dựa trên trung bình các chênh lệch.
- F-test so sánh hai phương sai.
Đáp án
B. Cùng chung 60 tháng nghĩa là dữ liệu khớp theo cặp, nên lấy chênh lệch từng tháng rồi tính trung bình và độ lệch chuẩn của các chênh lệch đó. A là bẫy vì đề viết "2 stocks over 60 months" nghe rất giống hai mẫu độc lập. C dùng khi đề hỏi về phương sai chứ không phải trung bình.
Câu 10.
Trong hồi quy tuyến tính đơn, độ lệch chuẩn của phần dư được gọi là:
- R².
- SEE.
- MSR.
Đáp án
B. SEE (standard error of estimate) = √MSE, chính là độ lệch chuẩn của residuals, càng nhỏ càng tốt. A là tỷ lệ biến động của Y được X giải thích, bằng SSR/SST. C là bình quân phần biến động được mô hình giải thích, dùng ở tử số của F.
Câu 11.
Một công ty phải chia 12 nhân viên thành 3 đội mỗi đội 4 người. Dùng công thức nào?
- Combination.
- Permutation.
- Multinomial.
Đáp án
C. Chia thành nhiều nhóm cùng lúc thì dùng multinomial: 12!/(4!4!4!) = 34,650. Combination dùng khi chỉ chọn một nhóm và thứ tự không quan trọng. Permutation dùng khi có xếp hạng nhất nhì ba.
Câu 12.
Giá trị Z nào ứng với mức ý nghĩa 5% của kiểm định một đuôi?
- 1.645.
- 1.96.
- 2.58.
Đáp án
A. 1.645 tương ứng P(Z ≤ z) = 0.95, tức 5% một đuôi (hoặc 90% hai đuôi). B (1.96) là 5% hai đuôi, mỗi bên 2.5%. C (2.58) là 99% hai đuôi. Thêm: 2.33 là 1% một đuôi, hay dùng trong bài VaR.
Câu 13.
Lạm phát kỳ vọng 4%, lãi suất thực 3%. Lãi suất danh nghĩa chính xác là bao nhiêu?
- 7.00%.
- 7.12%.
- 1.00%.
Đáp án
B. (1 + 0.03)(1 + 0.04) − 1 = 1.0712 − 1 = 7.12%. A là kết quả của phép cộng xấp xỉ — chỉ chấp nhận được khi đề nói "approximately"; nếu đề nói "exactly" thì phải nhân. C là nhầm thành phép trừ.
Câu 14.
Một mạng nơ-ron khớp cực kỳ chính xác với dữ liệu huấn luyện nhưng dự báo rất tệ trên dữ liệu mới. Đây là:
- Underfitting.
- Overfitting.
- Sampling error.
Đáp án
B. Overfitting là khi mô hình học quá kỹ dữ liệu huấn luyện, nhớ cả nhiễu và các mẫu ngẫu nhiên nên mất khả năng tổng quát hóa. A là ngược lại: mô hình quá đơn giản, sai số cao ở cả dữ liệu cũ lẫn mới, thường gặp ở mô hình tham số bị giả định sai. C là chênh lệch giữa thống kê mẫu và tham số tổng thể, không liên quan.